\documentclass[lang=cn,10pt]{elegantbook}

\title{空气动力学 \& 机器学习 }
\subtitle{学习笔记}

\author{左奎军 \& Kuijun Zuo}
\institute{西北工业大学}
\date{2023年~}
\version{1.0}
%\bioinfo{自定义}{dede} 自定义信息

%\extrainfo{不要以为抹消过去，重新来过，即可发生什么改变。—— 比企谷八幡}

\setcounter{tocdepth}{3}

\logo{NPU.jpg}
\cover{Strand.jpg}

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\begin{document}

\maketitle
\frontmatter

\tableofcontents

\mainmatter

\chapter{空气动力学基础}
\begin{introduction}
	\item 基础概念总结
	\item 随体导数的定义
	\item 连续性方程
	\item 动量方程
	\item 能量方程
	\item 流体力学控制方程总结
\end{introduction}
\section{基础概念总结}


\begin{definition}[雷诺数] \label{def:Re} 
	自然界的流体流动有两种流态：低速流动，流体为有规则有秩序的流动，称为层流；当流速增大时，流体逐渐转为一种杂乱无章的流动状态，称为湍流。雷诺数反映了惯性力和粘性力的比值，是判断流场处于湍流还是层流的一个数值，其表达式为： $Re=\frac{\rho VL}{\mu}$。这里，$\rho$为流体的密度；$V$为流体的运动速度；$L$为流场中的某种特征尺度（雷诺在圆管试验中，所用的特征尺度是圆管的直径$D$）；$\mu$为流体的动力粘性系数。雷诺数较小时，粘滞力对流场的影响大于惯性，流场中流速的扰动会因粘滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性对流场的影响大于粘滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的湍流流场。
\end{definition}

\begin{figure}[htbp]
	\centering 
	\includegraphics[scale=0.5]{image/Re.png}
	\caption{雷诺实验}
	\label{Re}
\end{figure}

\begin{definition}[马赫数] \label{def:Ma} 
	马赫数是流体力学中表征流体可压缩程度的一个重要的无量纲参数，记为$Ma$, 定义为流场中某点的速度$v$同该点的当地声速$c$之比，它是以奥地利科学家E.马赫的姓氏命名的。
	$$
		 Ma = \frac{v}{c}
	$$
	由定义可知，马赫数表示声速的倍数，一马赫即一倍音速：Ma<3(低速)、
	0.3 $\leq$Ma<0.8（亚声速）、
	0.8 $\leq$ Ma $\leq$ 1.2（跨声速）、
	1.2<Ma<5（超声速）、
	Ma$\geq$ 5（高超声速）
\end{definition}

\begin{definition}[努森数] \label{def:Kn} 
	努森数用于判断连续介质假设的适用范围：
	$$
	  Kn = \frac{\lambda}{L}
	$$
	$\lambda$ 为分子平均自由程，用于表征分子之间的间隙，它是指一个气体分子在随机运动过程中两次碰撞之间所走过的距离的平均值；L为所研究问题的特征尺度。
\end{definition}

\section{随体导数的定义}
在流体力学里，我们会遇到温度、密度、压强等这样的标量场（scalar field）, 定义这样的一个函数，需要以空间和时间为自变量，记为$f(x,y,z,t)$ ，表示在空间坐标 $(x,y,z)$ 处和时间 t 时的物理量（温度、密度、压强等）。一个流体元在 t 时刻从位置$(x,y,z)$ 运动到了$(x+ \Delta x, y+\Delta y, z+ \Delta z)$ ，会有一个物理量的变化$\Delta f$ ，其全导数为:
\begin{equation}
\Delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x +\frac{\partial f}{\partial y} \Delta y+\frac{\partial f}{\partial z} \Delta z+ \frac{\partial f}{\partial t} \Delta t+o(\rho) \\
\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2+(\Delta t)^2}
\end{equation}

这里， $o(\rho)$ 是 $\rho \rightarrow 0$时的高阶无穷小。而坐标$x,y,z$又是关于时间$t$的函数， 两边同时除以$\Delta t$得:

\begin{equation}
\frac{\Delta f}{\Delta t}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\Delta x}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\Delta y}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\Delta z}{\Delta t}+\frac{o(\rho)}{\Delta t}
\frac{\Delta f}{\Delta t}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\Delta x}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\Delta y}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\Delta z}{\Delta t}+\frac{o(\rho)}{\Delta t}
\end{equation}


让$\Delta t$趋向于0，差分可变为微分，可丢掉尾部的高阶无穷小：
\begin{equation}
\frac{\Delta f}{\Delta t}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\Delta x}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\Delta y}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\Delta z}{\Delta t}+\frac{o(\rho)}{\Delta t}
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dt}+\frac{\partial f}{\partial t}
\end{equation}

随体导数在此时被定义——流体质点在运动时所具有的物理量对时间的全导数。在高等代数里，$\nabla$ 是一个非常方便的数学符号，一个符号配合起来可以担当三个语义——
梯度：作用于标量$f(x,y,z)$ ,得到矢量。
\begin{equation}
gradf = \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z})
\end{equation}


散度：作用于矢量$(f_x,f_y,f_z)$ ，得到标量。

\begin{equation}
div \overrightarrow{f}=\nabla.\overrightarrow f=\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z}
\end{equation}


旋度：作用于矢量$(f_x,f_y,f_z)$，得到矢量。 

\begin{equation}
curl \overrightarrow f=\nabla \times \overrightarrow f=\left [ \begin{matrix}
\overrightarrow i& \overrightarrow j & \overrightarrow k\\
\frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
f_x & f_y & f_z 
\end{matrix} \right ] =(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z},\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x},\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y})
\end{equation}


位移$\overrightarrow s=(x,y,z)$是关于时间的函数，对时间求导得到速度$\overrightarrow v=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt})$ 于是，前面定义的式子记作：

\begin{equation}
\frac{df}{dt}=\overrightarrow v.\nabla f+\frac{\partial f}{\partial t}
\end{equation}


中间的点是向量的点乘（dot product)运算，也叫内积。我们来分解一下这个式子。随体导数 = 对流导数 + 当地导数。
对流导数（convective derivative） 也叫位变导数、迁移导数，反映了空间变化对物理量的影响。
当地导数（domain derivative) 也叫时变导数、区域导数、局部导数，反映了时间变化对物理量的影响。

举个很贴切的例子。在你乘坐高铁的时候，车厢间的电子屏幕会显示实时的速度和温度。你可以把这块电子屏当成流体元以便理解，电子屏幕需要给出的是高铁行驶到的地点处，当前时间点的温度。这个温度是行走中的温度，它与空间和时间都有关系，单独的空间或时间都不足以描述。

如果取密度$\rho$为质点的物理量，则密度的随体导数为$\frac{d \rho}{dt}$ 。对于不可压缩的流体，质点的密度在运动过程中保持不变，所以有$\frac{d \rho}{dt}=0$。

上面主要是从数学角度对物质导数的概念进行了梳理以及推导，下面主要从物理的角度来解释什么是物质导数？首先，我们采用沿流线运动的无穷小微团作为流动模型。如图 \ref{material}所示:

\begin{figure}
	\centering 
	\includegraphics[scale=0.8]{image/material1}
	\caption{流体微团在流场中的运动}
	\label{material}
\end{figure}


流体微团在笛卡尔坐标系下运动，设$x,y,z$轴的单位向量分别用$i,j,k$描述，则在笛卡尔坐标系下，速度向量场可以表示为：

\begin{equation}
V=u_i+v_j+w_k
\end{equation}


这里速度的$x,y,z$方向向量分别由下式给出：

\begin{equation}
u=u(x,y,z,t) \\
v=u(x,y,z,t) \\
w=w(x,y,z,t)
\end{equation}

我们通常考虑非定常流场，所以$u,v,w$既是位置的函数，又是时间的函数。此外，标量密度场表示为：

\begin{equation}
\rho=\rho(x,y,z,t)
\end{equation}

有了上面的定义可知，流体微团在$t_1$时刻以及$t_2$时刻的密度为分别为：

\begin{equation}
\rho_1=\rho(x_1,y_1,z_1,t_1) \\
\rho_2=\rho_2(x_2,y_2,z_2,t_2)
\end{equation}

既然密度表示的是位置和时间的函数，此时当流体微团处于$t_1$点时对其做如下的泰勒级数展开：

\begin{equation}
\rho_2 =\rho_1+(\frac{\partial \rho}{\partial t})_1(t_2-t_1)+(\frac{\partial \rho}{\partial x})_1(x_2-x_1)+(\frac{\partial \rho}{\partial y})(y_2-y_1)_1+(\frac{\partial \rho}{\partial z})(z_2-z_1)_1+高阶项
\end{equation}

对上述式子除以$t_2-t_1$，并且忽略高阶项，可得：


\begin{equation}
\frac{\rho_2-\rho_1}{t_2-t_1}=(\frac{\partial \rho}{\partial t})_1+(\frac{\partial \rho}{\partial x})_1 \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}+(\frac{\partial \rho}{\partial y})_1 \frac{y_2-y_1}{t_2-t_1}+(\frac{\partial \rho}{\partial z})_1 \frac{z_2-z_1}{t_2-t_1}
\end{equation}


上述式子的左边，实际上是流体微团在从位置1处移动到位置2处的过程中，密度的平均时间变化率。当$t_2$趋近于$t_1$时，这一项变为：
\begin{equation}
{\lim_{t_1 \to t_2}} \frac{\rho_2-\rho_1}{t_2-t_1}=\frac{D_\rho}{D_t}
\end{equation}


这里$\frac{D_\rho}{D_t}$表示的物理含义为流体微团在空间运动时，其密度的时间变化率。而偏导数$\frac{\partial_ \rho}{\partial_t}$表示物理含义为在任意固定位置处流场瞬时起伏导致的密度变化。

在$t_2 \to t_1$时，对公式进一步取极限：
\begin{equation}
{\lim_{t_1 \to t_2}} \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=u
{\lim_{t_1 \to t_2}} \frac{y_2-y_1}{t_2-t_1}=v
{\lim_{t_1 \to t_2}} \frac{w_2-w_1}{t_2-t_1}=w
\end{equation}

得到：
\begin{equation}
\frac{D_\rho}{D_t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+u\frac{\partial \rho}{\partial x}+v\frac{\partial \rho}{\partial y}+w\frac{\partial \rho}{\partial z}
\end{equation}

从而我们可以得到笛卡尔坐标系下物质导数的表达式：
\begin{equation}
\frac{D}{D_t}=\frac{\partial }{\partial t}+u\frac{\partial }{\partial x}+v\frac{\partial }{\partial y}+w\frac{\partial }{\partial z}
\end{equation}

并进一步结合笛卡尔坐标系下向量算子的定义：
\begin{equation}
\nabla =i \frac{\partial}{\partial x}+j\frac{\partial}{\partial y}+k \frac{\partial}{\partial z}
\end{equation}

最终得到物质导数的定义为：
\begin{equation}
\frac{D}{D_t}=\frac{\partial}{\partial t}+(V.D)
\end{equation}

这里我们需要再次强调，$\frac{D}{D_t}$表示的是物质导数，它在物理上表示的是跟踪一个运动流体微团的时间变化率；而$\frac{\partial}{\partial t}$表示的是当地导数，它在物理上表示的是固定点处的时间变化率，即为流体微团从流场中的一点运动到另外一点，由于流场空间的不均匀性而引起的时间变化率。物质导数可以应用于任何流场变量如温度场、压力场、速度场等。

举一个例子进一步加深对物质导数物理意义的理解。假设你在山里徒步旅行，由于天气炎热，正要进入一个山洞。如果洞内比洞外凉爽，当你经过洞口的时候，你会感到温度降低，这就是物质导数中的对流项表示的物理含义，即空间位置的变化导致温度的改变。此时，假设你的一个朋友向你抛过来一个雪球，恰好在你通过洞口的瞬间击中了你，当雪球击中你时，你会感到一个额外的、瞬时的温度下降，这就是物质导致中的当地项所表示的物理含义（无论你是否移动、向哪移动、是否进入山洞、被雪球击中的感觉都是一样的），因此，当你通过洞口时你感觉到的总温度的下降主要由两个部分组成，一个是你进入山洞由于空间位置的改变而引起的物质导数中对流项的改变，其次是你恰好被雪球击中时当地项的改变而引入的温度下降。这里的总温就是物质导数。

\begin{figure}
	\centering %表示居中
	\includegraphics[scale=0.8]{image/material2}
	
	\caption{当地项与对流项的理解}
	%图片的名称
	\label{material2}
	%图片的标签，用于文章中的引用，注意到标签的数字与实际文章显示的数字可能不同
\end{figure}

详细细节请参考：\href{https://www.zhihu.com/question/26992291/answer/1448275421}{随体导数的理解}

\section{连续性方程}

\subsection{流体微元}
欧拉观点下的质量守恒可以理解为：
位置固定的无穷小微团质量的变化 =  流入无穷小微团质量 - 流出无穷小微团质量
位置固定的无穷小微团质量的变化率=（流入无穷小微团质量 - 流出无穷小微团质量）的变化率
流体微团的体积变化表示为$dV=dxdydz$，则此时无穷小流体微团的质量为：
$$
dm=\rho dxdydz
$$
根据质量变化率的定义（质量的变化除以时间的变化），可以表示为：
$$
\frac{\partial dm}{\partial t}=\frac{\partial \rho dxdydz}{\partial t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}dxdydz
$$
下面考虑无穷小流体微团的流入和流出。根据泰勒公式的定义：对于一个函数，$x_0$点的值为$f(x_0)$，那么$x_0+h$的值可以通过下述方程求得：
$$
f(x_0+h) \approx f(x_0)+f^`(x_0)h
$$
如图所示，针对无穷小流体微团而言，立方体左侧单位面积的质量流量为$\rho u$，其表示单位时间内流入单位面积的质量。同时立方体左侧的面积为$dydz$，因此有单位时间内流入的质量为$\rho u dy dz$。而对于立方体右侧单位时间内流出单位面积的质量可以通过一阶泰勒展开式求出：$\rho u + \frac{\partial \rho u}{\partial x} dx$。同样的，立方体右侧的面积为$dydz$，因此单位时间内流出流体微团的质量为:
$$
(\rho u+\frac{\partial \rho u}{\partial x}dx)dydz
$$
综合无穷小微团单位时间内流入的质量与单位时间内流出的质量，此时可以得到单位时间内$x$方向的净质量变化率为:
$$
\rho udydz-(\rho u+\frac{\partial \rho u}{\partial x}dx)dydz=-\frac{\partial \rho u}{\partial x}dxdydz
$$
同理，可得$y$方向的净质量变化率为:
$$
-\frac{\partial \rho v}{\partial y}dxdydz
$$
$z$方向的净质量变化率为:
$$
-\frac{\partial \rho w}{\partial z}dxdydz
$$
将各个方向的质量变化率相加得：
$$
-\frac{\partial \rho u}{\partial x}dxdydz-\frac{\partial \rho v}{\partial y}dxdydz-\frac{\partial \rho w}{\partial z}dxdydz=-(\frac{\partial \rho u}{\partial x}+\frac{\partial \rho v}{\partial y}+\frac{\partial \rho w}{\partial z})dxdydz
$$
结合开始根据质量变化率推导得到的方程有：
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}dxdydz=-(\frac{\partial \rho u}{\partial x}+\frac{\partial \rho v}{\partial y}+\frac{\partial \rho w}{\partial z})dxdydz
$$
进一步整理，得到在固定流体微团状态下的连续方程为:
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho u}{\partial x}+\frac{\partial \rho v}{\partial y}+\frac{\partial \rho w}{\partial z}=0
$$


### 二、随流体运动的无穷小流体微团连续方程的推导

下面主要考虑随流体运动的无穷小流体微团。这个微团有固定的质量，但是它的形状和体积会在移动过程中发生改变。这里将流体微团固定的质量以及可变的体积分别用$\delta m$和$\delta V$表示,此时有：
$$
\delta m=\rho \delta V
$$
因为在流体微团运动的整个过程中质量是守恒的，因此其质量变化对时间的变化率为零，这里根据物质导数的定义，我们可以得到:
$$
\frac{D(\delta m)}{Dt}=0
$$
结合上述方程，可进一步得到:
$$
\frac{D(\rho \delta V)}{Dt}=\delta V \frac{D \rho}{D t}+\rho \frac{D(\delta V)}{Dt}
$$
可以进一步的化简为：
$$
\frac{D \rho}{D t}+\rho [\frac{1}{\delta V} \frac{D(\delta V)}{Dt}]=0
$$
上述中的第二项表示的就是速度散度，表示的是每单位体积运动着的流体微团，体积相对于变化的时间变化率，即可得到：
$$
\frac{D \rho}{Dt}+\rho \nabla.V=0
$$

\subsection{有限控制体}

\symbf{一、空间位置固定的有限控制体连续方程的推导}

下图为一个形状任意、大小有限的控制体。该控制体的空间位置固定，其边界为控制面，流体穿过控制面，流过固定的控制体。在控制面上，设一点的流动速度为V，表面微元的面积向量为dS。dV表示有限控制体内的一个体积微元。该控制体仍然遵守质量守恒定律，即：通过控制面S流出控制体的净质量流量=控制体内质量减少的时间变化率

\begin{figure}
	\centering %表示居中
	\includegraphics[scale=0.5]{image/controlVolume.png}
	
	\caption{当地项与对流项的理解}
	%图片的名称
	\label{controlVolume1}
	%图片的标签，用于文章中的引用，注意到标签的数字与实际文章显示的数字可能不同
\end{figure}


对于运动的流体其穿过任意固定表面的质量流量等于（密度）$\times$ （表面面积）$\times$（垂直于表面的速度分量）。因此，通过面积$dS$的质量流量微元为：
$$
\rho V_n dS=\rho V.dS
$$
这里假定流出控制体的方向为正，则**通过控制面流出控制体的净质量流量**为:

$$
B=\iint \limits _S \rho V.d S
$$

针对体积微元$dV$，其质量为$\rho dV$。因此控制体内总质量为:

$$
\iiint \limits_{V} \rho dV
$$

此时，控制体内质量的增加率为：

$$
\frac{\partial}{\partial t} \iiint \limits_{V} \rho d V
$$

进一步，在上述式子后面添加一个负号就可以表示控制体内质量减少的时间变化率：

因为前面我们讨论了：通过控制面S流出控制体的净质量流量=控制体内质量减少的时间变化率

从而可以得到: 

$$
\iint \limits _S \rho V.d S=-\frac{\partial}{\partial t} \iiint 		\limits_{V} \rho d V
$$


进一步化简: 
$$
\iint \limits _S \rho V.d S+\frac{\partial}{\partial t} \iiint 		   	  \limits_{V} \rho d V =0
$$


上述方程就是以固定的有限控制体为研究对象，从欧拉思想出发推导得到的连续方程。



\symbf{二、随流体运动的有限控制体连续方程的推导}

如下图所示，控制体在运动过程中，体积甚至形状会发生变化但是因为控制体是由无数个无穷小的流体微团组成的，因此根据质量守恒定律，其总质量是不变的。


\begin{figure}
	\centering %表示居中
	\includegraphics[scale=0.5]{image/controlVolume2.png}
	
	\caption{当地项与对流项的理解}
	%图片的名称
	\label{controlVolume2}
	%图片的标签，用于文章中的引用，注意到标签的数字与实际文章显示的数字可能不同
\end{figure}



考虑有限控制体内一无穷小的体积微元$dV$，该微元的质量为$\rho dV$，其中$\rho$表示当地密度。此时，有限控制体的总质量为:
$$
m=\iiint \limits_{V} \rho dV
$$
根据物质导数的定义，由于控制体在随流体运动过程中的质量为常数，因此其物质导数为：
$$
\frac{D}{D_t} \iiint \limits_{V}\rho dV=0
$$
上述式子就是基于流动的有限控制体推导得到的连续性方程。

\section{动量方程推导}

本节主要是基于牛顿第二定律:$F=ma$对动量方程进行推导。为了方便推导，这里主要选取运动的无穷小流体微团为研究对象，无穷小的流体微团在运动过程中主要受体积力以及表面力的作用。表面力，顾名思义就是作用在无穷小微团表面的力，如压力、表面张力、粘性力（正应力、切应力）等；体积力作用在无穷小微团全部体积上（不仅表面有、体积内也有），例如重力、电磁力、电场力等。主要的分类如下图所示。


\begin{figure}
	\centering %表示居中
	\includegraphics[scale=0.5]{image/momentum.png}
	
	\caption{体积力与表面力的分类}
	%图片的名称
	\label{momentum}
	%图片的标签，用于文章中的引用，注意到标签的数字与实际文章显示的数字可能不同
\end{figure}

无穷小流体微团在运动中主要受到两种表面力的作用：

1）由流体微团周围的流体作用于流体微团表面的压力分布

2）由于外部流体推拉流体微团而产生的，以摩擦的方式作用于表面的切应力以及正应力分布。

为了便于理解，这里首先给出二维流体微团的受力分析，然后在此基础上将其扩展到三维流体微团。如下图所示，一个流体微团受到的表面力主要有压力以及粘性力，而粘性力根据方向又可以分为正应力以及切应力。这里的分量存在两个下标，第一个下标表示作用于与某方向垂直的平面，第二个下标表示力的方向。根据下图的受力分析，最终可以分别得到对应X方向以及Y方向的合力。具体的推导过程如下图所示。

\begin{figure}
	\centering %表示居中
	\includegraphics[scale=0.4]{image/momentum1.png}
	
	\caption{二维流体微团的受力分析}
	%图片的名称
	\label{momentum1}
	%图片的标签，用于文章中的引用，注意到标签的数字与实际文章显示的数字可能不同
\end{figure}




根据二维流体微团的受力分析，可以相应的扩展到三维的流体微团。根据牛顿第二定律，作用于微团上力的总和等于微团的质量乘以微团运动时的加速度。将其沿着X、Y、Z轴分解为三个标量的关系式，首先我们仅考虑其中X方向的分量。$F_x=ma_x$，这里我们首先考虑X方向所受的力。将作用在单位质量流体微团上的体积力记作$f$，其$x$方向的分量为$f_x$。流体微团的体积为$dxdydz$，从而作用在流体微团上的体积力$x$方向上的分量为：
$$
F_x = \rho f_x(dxdydz)
$$
如下图所示，在面$abcd$上，仅存在由切应力引起的$x$方向的分力$\tau_{yx}d_xd_z$，面$efgh$与面$abcd$的距离为$d_y$，所以根据泰勒公式可得到面$efgh$上$x$方向的切应力为$[\tau_{yx}+(\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y})dy]dxdz$。这里需要说明的是，两个面上的方向是不同的。在底面，$\tau_{yx}$是向左的（与X轴方向相反）；在顶面，切应力的方向是向右的（与X轴的方向相同）。即速度三个分量$u,v,w$的正增量与坐标轴的正向一致。例如，对于平面$efgh$来说，因为$u$沿着$Y$轴的正向是增加的，所以在稍高于平面$efgh$的位置，速度要比平面上的大。于是就形成了“拉”的动作，试图将流体微团向右拉向$X$轴的正向，与此相反，考虑abcd平面，则在稍微低于该平面的位置，速度要比平面上的小，于是对流体微团就形成了阻滞的作用，方向为X轴的负向。特别是在面$dcgh$上，$\tau_{zx}$指向X轴的负方向；而在面$abfe$上，$\tau_{zx}+(\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})dz$指向X轴正向。在垂直于X轴的面$adhe$上，X方向的力有压力$pdxdz$，指向流体微团的内部，还有沿着X轴负向的应力$\tau_{xx}dydz$。


\begin{figure}
	\centering %表示居中
	\includegraphics[scale=0.3]{image/momentum2.png}
	
	\caption{三维流体微团的受力分析}
	%图片的名称
	\label{momentum2}
	%图片的标签，用于文章中的引用，注意到标签的数字与实际文章显示的数字可能不同
\end{figure}


综上所述，对运动的流体微团，X方向总的表面力：
$$
[p-(p+\frac{\partial p}{\partial x})dx]dydz+[(\tau_{xx}+\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}dx)-\tau_{xx}]dydz+[(\tau_{yx}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}dy)-\tau_{yx}]dxdz+[(\tau_{zx}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}dz)-\tau_{zx}]dxdy
$$
加上体积力，有：
$$
F_x=(-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})dxdydz+\rho f_xdxdydz
$$
因为这里我们考虑的是运动的流体微团，其质量是固定不变的，即：
$$
m=\rho dxdydz
$$
另外，我们知道流体微团的加速度就是速度变化的时间变化率。所以，加速度的$x$方向的分量，记作$a_x$，即为$u$的时间变化率。这里我们直接根据物质导数的定义：
$$
a_x=\frac{D_u}{D_t}
$$
这里将上述得到的结果带入牛顿第二定律中，得到：

$x$方向的动量方程：
\begin{equation}
	\rho \frac{D_u}{D_t}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+\rho f_x
\end{equation}

$y$方向的动量方程:
\begin{equation}
	\rho \frac{D_v}{D_t}=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+\rho f_y 
\end{equation}

$z$方向的动量方程:
\begin{equation}
	\rho \frac{D_w}{D_t}=-\frac{\partial p}{\partial z}+\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z}+\rho f_z 
\end{equation}


17世纪末牛顿指出，流体的切应力与应变的时间变化率，也就是速度梯度，是成正比的。这样的流体被称为牛顿流体。在空气动力学中，流体都可以被看做是牛顿流体。对于这样的流体，斯托克斯在1845年得到：
$$
\begin{aligned}
	&\tau_{x x}=\lambda(\nabla \cdot V)+2 \mu \frac{\partial u}{\partial x} \\
	&\tau_{y y}=\lambda(\nabla \cdot V)+2 \mu \frac{\partial v}{\partial y} \\
	&\tau_{z z}=\lambda(\nabla \cdot V)+2 \mu \frac{\partial w}{\partial z} \\
	&\tau_{x y}=\tau_{y x}=\mu\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right) \\
	&\tau_{x z}=\tau_{z x}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right) \\
	&\tau_{y z}=\tau_{z y}=\mu\left(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\right)
\end{aligned}
$$

其中$\mu$是分子的粘性系数，$\lambda$ 是第二粘性系数。斯托克斯提出假设，认为：

\begin{equation}
	\lambda=-\frac{2}{3} \mu
\end{equation}
将上述假设带入到公式(1.20)、(1.21)、(1.22)中，可进一步得到：

\begin{equation}
	\begin{cases}
	 	\rho \frac{D_u}{D_t} = -\frac{\partial p}{\partial x}   
	 	+\frac{\partial (-\frac{2}{3} \mu(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + 2 \mu \frac{\partial u}{\partial x})}{\partial x} 
	 	+ \frac{\partial (\mu (\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}))}{\partial y} + \frac{\partial (\mu (\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}))}{\partial z} + \rho f_x \\
	 	
	 	\rho \frac{D_v}{D_t} = -\frac{\partial p}{\partial y}  
	 	+\frac{\partial (\mu (\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}))}{\partial x}
	 	+\frac{\partial (-\frac{2}{3} \mu(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + 2 \mu \frac{\partial v}{\partial y})}{\partial y} 
	 	+\frac{\partial (\mu (\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}))}{\partial z}
	 	+\rho f_y \\
	 	
	 	\rho \frac{D_w}{D_t} = -\frac{\partial p}{\partial z} 
	 	+ \frac{\partial (\mu (\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}))}{\partial x}
	 	+ \frac{\partial (\mu (\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}))}{\partial y}
	 	+ \frac{\partial (-\frac{2}{3} \mu(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + 2 \mu \frac{\partial w}{\partial z})}{\partial z} 
	 	+ \rho f_z
	\end{cases}
\end{equation}
进一步化简可得： 
\begin{equation}
	\begin{cases}
		 \rho \frac{D_u}{D_t} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \mu \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + \rho f_x \\
		 
		 \rho \frac{D_v}{D_t} = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu (\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \mu \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + \rho f_y  \\
		 
		 \rho \frac{D_w}{D_t} = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu (\frac{\partial ^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \mu \frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + \rho f_z   \\
	\end{cases}
\end{equation}
方程两边同时除以$\rho$,进一步得到:
\begin{equation}
\begin{cases}
	\frac{D_u}{D_t} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + f_x \\
	
	\frac{D_v}{D_t} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + f_y  \\
	
	\frac{D_w}{D_t} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + f_z   \\
\end{cases}
\end{equation}
又根据物质导数的定义，可进一步化简为：
\begin{equation}
	\begin{cases}
		\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}  = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + f_x \\
		
		\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + f_y  \\
		
		\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial z^2}) + \frac{1}{3} \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) + f_z   \\
	\end{cases}
\end{equation}
考虑黏性不可压缩流体运动，结合不可压缩流体的连续性方程$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}=0$，且运动黏性系数$\nu = \frac{\mu}{\rho}$, 将其写为向量形式为:

\begin{equation}
	\begin{cases}
		\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla  V  u  = f_x -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu \nabla^2 u\\
		
		\frac{\partial v}{\partial t} + \nabla  V  v  = f_y -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \nu \nabla^2 v  \\
		
		\frac{\partial w}{\partial t} + \nabla  V  w  = f_z -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + \nu \nabla^2 w   \\
		
		\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}=0
	\end{cases}
\end{equation}
根据爱因斯坦求和约定，将$x, y, z$ 用$x_1, x_2, x_3$表示，$u, v, w$用$u_1, u_2, u_3$表示, NS方程进一步化简为：
\begin{equation}
	\begin{cases}
		\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = f_i - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \mu_i}{\partial x_j ^2} \\
		
		\frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0
	\end{cases}
\end{equation}

\section{能量方程的推导}

%\chapter{湍流模型}

\section{雷诺平均方法}
对于湍流而言，其瞬时速度分量$u, v, w$以及压力$p$，可相应的将其看成分别由平均值与脉动值组成：
\begin{equation}
	\begin{cases}
		u = \bar{u} + u^' \\
		v = \bar{v} + v^' \\
		w = \bar{w} + w^' \\
		p = \bar{p} + p^' \\
		\bar{u} = \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} u dt \\
		\bar{v} = \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} v dt \\
		\bar{w} = \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} w dt \\
		\bar{p} = \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} p dt  \\
	\end{cases}
\end{equation}

其中，脉动速度以及脉动压力的平均值为零，这里给出脉动速度平均值：$\bar{u^{'}}$ 的推导，其他数值的推导方法类似。

\begin{equation}
	\begin{split}
		\overline{u^{'}} &= \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} (u - \bar{u}) dt \\
		& = \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} u dt - \frac{\bar{u}}{T} \int_{t}^{t+T} dt\\
		& = \bar{u} - \bar{u} \\
		& = 0
	\end{split}
\end{equation}

用任一字母$\Phi$表示$u, v, w, p$中的任一值, 有：

\begin{equation}
	\begin{split}
		\Phi = \bar{\Phi} +  \Phi^{'} &; \bar{\Phi^{'}}=0; \\
		           (\bar{\Phi})^{'} = 0 &; \bar{\bar{\Phi}} = \bar{\Phi}。
	\end{split}
\end{equation}

进一步，$\Phi$表示$u, v, w$中的任一值，$\Psi$也表示$u, v, w$中的任一值, 则有：

\begin{equation}
	\begin{cases}
		\overline{\Phi + \Psi} &= \overline{(\bar{\Phi} + \Phi^{'})+(\bar{\Psi} + \Psi^{'})} = \bar{\Phi} + \bar{\Psi}; \\
		\overline{\Phi \Psi}   &= \overline{(\bar{\Phi} + \Phi^{'})(\bar{\Psi} + \Psi^{'})} = \overline{\bar{\Phi}\bar{\Psi} + \bar{\Phi}\Psi^{'} + \Phi^{'}\bar{\Psi} + \Phi^{'} \Psi^{'}} = \bar{\Phi} \bar{\Psi} + \overline{\Phi^{'} \Psi^{'}}
	\end{cases}
\end{equation}


\subsection{连续性方程的雷诺平均}

不可压缩流体的连续性方程为:

\begin{equation}
	\begin{split}
		\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0
	\end{split}
\end{equation}

对上式两边做雷诺平均:

\begin{equation}
	\begin{split}
		\overline{\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}} = \overline{\frac{\partial (\bar{u} + u^{'})}{\partial x} + \frac{\partial (\bar{v} + v^{'})}{\partial y} + \frac{\partial (\bar{w} + w^{'})}{\partial z}} = 0
	\end{split}
\end{equation}

整理得:

\begin{equation}
	\begin{cases}
		\frac{\partial \overline{(\bar{u} + u^{'})}}{\partial x} + \frac{\partial \overline{(\bar{v} + v^{'})}}{\partial y} + \frac{\partial \overline{(\bar{w} + w^{'})}}{\partial z} = 0 \\
		
		\frac{\partial \bar{\bar{u}}}{\partial x} = \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} \\
		\frac{\partial \bar{\bar{v}}}{\partial y} = \frac{\partial \bar{v}}{\partial y} \\
		\frac{\partial \bar{\bar{w}}}{\partial z} = \frac{\partial \bar{w}}{\partial z} \\
		\frac{\bar{u^{'}}}{\partial x} = \frac{\bar{v^{'}}}{\partial y} = \frac{\bar{w^{'}}}{\partial z} = 0
	\end{cases}
\end{equation}

从而得到不可压缩流体流动的时均流动的连续性方程:

\begin{equation}
	\begin{split}
		\frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \frac{\partial \bar{v}}{\partial y} + \frac{\partial \bar{w}}{\partial z} = 0
	\end{split}
\end{equation}

另外，也可得到不可压缩流体脉动运动的连续性方程:

\begin{equation}
	\begin{split}
		\frac{\overline{u^{'}}}{\partial x} + \frac{\overline{v^{'}}}{\partial y} + \frac{\overline{w^{'}}}{\partial z} = 0
	\end{split}
\end{equation}


\subsection{动量方程的雷诺平均}

不可压缩黏性流动的NS方程：

\begin{equation}
\begin{cases}
	\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}  = f_x - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}) \\

	\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} = f_y - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial z^2}) \\

	\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z} = f_z - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial z^2}) \\
\end{cases}
\end{equation}

对$x$方向的动量方程:
\begin{equation}
	\overline{\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}}  = \overline{f_x - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\mu}{\rho} (\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2})}
\end{equation}
		
对于等号左边：

\begin{equation}
	\begin{cases}
		\frac{\overline{\partial u}}{\partial t} = \frac{\partial \overline{(\bar{u} + u^{'})}}{\partial t} 
		 = \frac{\partial \bar{u}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{u^{'}}}{\partial t}
		 = \frac{\partial \bar{u}}{\partial t} \\
		
		\overline{u\frac{\partial u}{\partial x}} = \overline{(\bar{u} + u^{'}) \frac{\partial (\bar{u} + u^{'})}{\partial x}} = \overline{\bar{u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x}} + \overline{ \bar{u} \frac{\partial u^{'}}{\partial x}} +\overline{u^{'} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x}} + \overline{u^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial x}} = \bar{u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \overline{u^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial x}} \\
		
		\overline{v\frac{\partial u}{\partial y}} = \overline{(\bar{v} + v^{'}) \frac{\partial (\bar{u} + u^{'})}{\partial y}} = \overline{\bar{v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y}} + \overline{ \bar{v} \frac{\partial u^{'}}{\partial y}} +\overline{v^{'} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y}} + \overline{v^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial y}} = \bar{v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \overline{v^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial y}}\\
		
		\overline{w\frac{\partial u}{\partial z}} = \overline{(\bar{w} + w^{'}) \frac{\partial (\bar{u} + u^{'})}{\partial z}} = \overline{\bar{w} \frac{\partial \bar{u}}{\partial z}} + \overline{ \bar{w} \frac{\partial u^{'}}{\partial z}} +\overline{w^{'} \frac{\partial \bar{u}}{\partial z}} + \overline{w^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial z}} = \bar{w} \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} + \overline{w^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial z}} \\
			
	\end{cases}
\end{equation}

对于等号左边:

\begin{equation}
	\begin{cases}
		\overline{f_x} = \overline{f_x}  \\
		
		\overline{-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial (\bar{p} + \overline{p^{'}})}{\partial x} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x} \\
		
		\overline{\frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}}  =  \frac{\mu}{\rho} \overline{\frac{\partial ^{2} (\bar{u} + u^{'})}{\partial x^{2}}} = \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial x^{2}} \\
		
		\overline{\frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}}  = \frac{\mu}{\rho} \overline{\frac{\partial ^{2} (\bar{u} + u^{'})}{\partial y^{2}}} = \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial y^{2}} \\
		
		\overline{\frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2}}}  = \frac{\mu}{\rho} \overline{\frac{\partial ^{2} (\bar{u} + u^{'})}{\partial z^{2}}} = \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial z^{2}}
		
		
	\end{cases}
\end{equation}

将等号的左边和右边分别相加:

\begin{equation}
	\frac{\partial \bar{u}}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \overline{u^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial x}} + \bar{v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \overline{v^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial y}} + \bar{w} \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} + \overline{w^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial z}} = \overline{f_x} -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x} + \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial x^{2}} + \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial y^{2}} + \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial z^{2}}
\end{equation}

经过整理得：

\begin{equation}
	\frac{\partial \bar{u}}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \bar{v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \bar{w} \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} = \overline{f_x} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x} + \frac{\mu}{\rho}(\frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial z^{2}}) - (\overline{u^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial x}} + \overline{v^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial y}} + \overline{w^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial z}})

\end{equation}

同理，可得到雷诺平均后的NS方程：

\begin{equation}
	\begin{cases}
		\frac{\partial \bar{u}}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \bar{v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \bar{w} \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} 
		= \overline{f_x} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x} + \frac{\mu}{\rho}(\frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial ^{2} \bar{u}}{\partial z^{2}}) - (\overline{u^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial x}} + \overline{v^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial y}} + \overline{w^{'} \frac{\partial u^{'}}{\partial z}}) \\
		
		\frac{\partial \bar{v}}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial \bar{v}}{\partial x} + \bar{v} \frac{\partial \bar{v}}{\partial y} + \bar{w} \frac{\partial \bar{v}}{\partial z} 
		= \overline{f_y} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial y} + \frac{\mu}{\rho}(\frac{\partial ^{2} \bar{v}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} \bar{v}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial ^{2} \bar{v}}{\partial z^{2}}) - (\overline{u^{'} \frac{\partial v^{'}}{\partial x}} + \overline{v^{'} \frac{\partial v^{'}}{\partial y}} + \overline{w^{'} \frac{\partial v^{'}}{\partial z}}) \\
		
		\frac{\partial \bar{w}}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial \bar{w}}{\partial x} + \bar{v} \frac{\partial \bar{w}}{\partial y} + \bar{w} \frac{\partial \bar{w}}{\partial z} 
		= \overline{f_z} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial z} + \frac{\mu}{\rho}(\frac{\partial ^{2} \bar{w}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2} \bar{w}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial ^{2} \bar{w}}{\partial z^{2}}) - (\overline{u^{'} \frac{\partial w^{'}}{\partial x}} + \overline{v^{'} \frac{\partial w^{'}}{\partial y}} + \overline{w^{'} \frac{\partial w^{'}}{\partial z}})
	
	\end{cases}
\end{equation}

\textcolor{red}{正常形式的NS方程为：}

\begin{equation}
	 	\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = f_i - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\nu \frac{\partial u_i}{\partial x_j})
\end{equation}

\textcolor{red}{时均形式的NS方程为：}

\begin{equation}
	\frac{\partial \bar{u_i}}{\partial t} + \bar{u_j} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} = \bar{f_i} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\nu \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} - \overline{u^{'}_i u^{'}_j})
\end{equation}

上述式子最早是由雷诺于1895年提出，因此通常被称为雷诺时(平)均N-S方程(Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equation, RANS),简称为雷诺平均方程。和正常的N-S方程相比，雷诺平均方程在等号的右边多了一个脉动项:$- \overline{u^{'}_i u^{'}_j}$, 如果乘以密度$\rho$，变成$- \rho \overline{u^{'}_i u^{'}_j}$, 从量纲分析上来看，其具有和切应力$\tau = \mu \frac{du}{dy}$一样的单位，所以被称为雷诺应力。

\section{湍流模型的分类}

\begin{figure}[htbp]
	\centering %表示居中
	\includegraphics[scale=0.6]{image/turbulence.png}
	
	\caption{湍流模型分类}
	%图片的名称
	\label{turbulence}
	%图片的标签，用于文章中的引用，注意到标签的数字与实际文章显示的数字可能不同
\end{figure}

目前主流的CFD方法主要分为三大类：直接数值模拟，DNS(Direct Numerical Simulation)、大涡模拟，LES(Large Eddy Simulation)和雷诺平均的NS方程，RANS(Reynolds-Averaged Navier-Stokes)。另外还有近20年来发展迅速的RANS/LES混合方法。目前航空CFD广泛使用的是基于湍流模型的RANS方法，RANS方法使用的湍流模型分为两大类，即：雷诺应力模型（Reynolds-Stress Model, RSM）和涡粘模型(Eddy Viscosity Model, EVM)。


涡粘性湍流模式是工程湍流问题中应用最为广泛的一种十分实用的湍流模式，本质是通过建立涡粘性概念在雷诺应力与平均速度梯度或应变率之间建立一定的本构关系。\textcolor{red}{Boussinesq}仿照牛顿流体的内摩擦定律，提出了湍流的涡粘性假设，假设雷诺应力张量与平均变形率张量有如下关系：

%$$
%- \rho \overline{u^{'}_i u^{'}_j} = (\tau_{i, j})_t = \mu_{t}(\frac{\partial %u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}) - \frac{2}{3} \mu_{t} \delta_{i, %j} \nabla V
%$$

\begin{equation}
	\overline{u^{'}_i u^{'}_j} =  \frac{2}{3}k \delta_{i, j} - \nu_{t}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i})
\end{equation}

$k$是单位质量流体的湍流脉动动能，用于度量湍流强度：$k = \frac{1}{2}(\overline{{u^'}^2 + {v^'}^2 + {w^'}^2} )$。$\delta_{i, j}$ 是Kronecker符号，当$i=j$时，$\delta_{i, j} = 1$； 当$i \neq j$时，$\delta_{i, j} = 0$。$\nu_{t}$是运动涡粘性系数。此时，就将求解雷诺应力问题简化为去求解运动涡粘系数$\nu_{t}$的问题，下面所有的工作都是围绕如何去求解该数值进行展开，得到该数值之后，整体的雷诺应力方程才能进行封闭。


\section{零方程模型}

\subsection{Prandtl混合长度假设}

\begin{enumerate}[1)]
	\item 在湍流运动中，设想小尺度的涡随流体微团类似气体分子那样做离散运动。这些流体微团只在经过一个有效距离后才实现与周围流体微团的动量交换，这个有效距离的平均值称为混合长度$l$。在这一长度范围内，微团之间不相互碰撞，微团的运动参数不发生变化。
	\item 方向脉动速度$u^{'}$的绝对值与平均速度增量成正比，即：$\left| u^{'} \right| = c.l \frac{d\bar{u}}{dy}$，其中$c$为常数。
	\item 假定脉动速度$u^{'}$与$v^{'}$具有相同的数量级，即：$\left| v^{'} \right| = c_1 \left| u^{'}\right|  = c_1.c.l\frac{d\bar{u}}{dy}$。
\end{enumerate}
由于脉动速度$u^{'}$和$v^{'}$乘积的时均值$\overline{u^{'}v^{'}}$为负值，它与脉动速度绝对值的时均乘积$\left u^{'} \right| \left| v^{'} \right|$是不等的，普朗特将其强制写成：

$$
	\overline{u^{\prime} v^{\prime}}=-c_2\left|u^{\prime}\right|\left|v^{\prime}\right|=-\left.c_2 c_1 c^2\right l^2\left(\frac{d \bar{u}}{d y}\right)^2
$$
普朗特令$c_2 c_1 c^2 l^2 = l^{'}^2$，$l^{'}$称为混合长度。从而有$\overline{u^{\prime} v^{\prime}} = -l^{'}^2\left(\frac{d \bar{u}}{d y}\right)^2$。为了与层流切应力表达式相对应，将上式进一步写成：
\begin{equation}
	-\rho \overline{u^{\prime} v^{\prime}}=\tau_t=\left( \rho l^{'}^2 \frac{d \bar{u}}{d y}\right)\left(\frac{d \bar{u}}{d y}\right) = u_t \frac{d \bar{u}}{d y}
\end{equation}

可知湍流动力黏性系数: $u_t = \rho l^{'}^2 \frac{d \bar{u}}{dy}$。湍流运动黏性系数:$\nu_{t} = l^{'}^2 \frac{d \bar{u}}{dy}$

缺点： 1）混合长模型中的经验常数缺乏通用性，不同的流体问题取值不同；2）混合长模型不适用于处理起主要作用的流动问题，如快速发展的流体、弱剪切流动和分离流动等；3）对于较复杂的流动问题，混合长度$l$不易确定。

\section{一方程模型}

\subsection{Kolmogorov-Prandtl模型}

在普朗特混合长模型中，$u_t$仅与几何位置及时均速度场有关，而与湍流的特征参数无关。而现实中的湍流粘性系数应当与湍流本身的特征量有关。如果把湍流脉动造成附加应力的过程与分子扩散造成的应力过程进行类比，分子粘性正比于分子平均自由程与其速度的乘积，那么湍流粘性系数应当正比于脉动的特征速度及脉动的特征尺度的乘积。湍流脉动动能的平方根，即:
 $$
	k^{\frac{1}{2}} = [\frac{1}{2} \overline{(u^{'}^2 + v^{'}^2  + w^{'}^2 )}]^{\frac{1}{2}}
$$ 
可作为湍流脉动速度的代表；用$l$表示湍流脉动的长度尺度。1942年Kolmogorov以及1945年Prandtl分别提出了计算$u_t$的表达式：

$$
	u_t = C_u \rho l k^{\frac{1}{2}}
$$
式中，$C_u$为经验常数，$C_u=0.09$；$l$套用经验公式或实验确定。
$k=\frac{1}{2}\overline{(u^{'}^2 + v^{'}^2  + w^{'}^2 )} = \frac{1}{2} \overline{u_i^{'} u_i^{'}}$ 为$k$的定义式，脉动量未知。因此需要建立$k$与时均值的关系式求出$k$值，需引入一个关于$k$的偏微分方程。具体的做法为：将正常形式的N-S方程与时均形式的N-S方程相减，得到一个关于$u_i^{'}$的偏微分方程，然后再按$k$的定义，在方程的两边分别乘以$u_i^{'}$，并做时均化处理，最终得到关于$k$的偏微分方程。

\textcolor{red}{正常形式的N-S方程}:

$$
\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = f_i - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\nu \frac{\partial u_i}{\partial x_j})
$$

$$
\frac{\partial (\bar{u_i} + u_i^{'})}{\partial t} + (\bar{u_j} + u_j^{'}) \frac{\partial (\bar{u_i} + u_i^{'})}{\partial x_j} = f_i - \frac{1}{\rho}\frac{\partial (\bar{p} + p^{'})}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\nu \frac{\partial (\bar{u_i} + u_i^{'})}{\partial x_j})
$$

\textcolor{red}{时均形式的N-S方程}:
$$
	\frac{\partial \bar{u_i}}{\partial t} + \bar{u_j} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} = \bar{f_i} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\nu \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} - \overline{u^{'}_i u^{'}_j})
$$

\textcolor{red}{脉动形式的N-S方程(瞬时方程-时均方程)}:
$$
	\frac{\partial u_i^{'}}{\partial t} + \bar{u_j} \frac{\partial u_i^{'}}{\partial x_j} + u_j^{'} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} + u_j^{'} \frac{\partial u_i^{'}}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p^{'}}{\partial x_i} + \nu\frac{\partial ^2 u_i^{'}}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_i^{'}u_j^{'}}}{\partial x_j}
$$

又因为脉动运动的连续性方程: $\frac{\partial u_j^{'}}{\partial x_j}=0$，
进一步有： $u_j^{'} \frac{u_i{'}}{\partial x_j} = \frac{\partial (u_j^{'}u_i{'})}{\partial x_j} - u_i^{'} \frac{\partial u_j^{'}}{\partial x_j}} = \frac{\partial (u_j^{'} u_i^{'})}{\partial x_j}$

因此，脉动运动的动量方程还可写成:
$$
		\frac{\partial u_i^{'}}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial u_i^{'}}{\partial x_j} + u_j^{'} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p^{'}}{\partial x_i} + \nu\frac{\partial ^2 u_i^{'}}{\partial x_j \partial x_j} -\frac{\partial}{\partial x_j} \textcolor{magenta}{(u_i^{'} u_j^{'} - \overline{u_i^{'} u_j^{'})}}
$$

两边同时乘以$u_i^{'}$，然后进行时均化处理，以凑出$k=\frac{1}{2} \overline{u_i^{'} u_i^{'}}$:
$$
	\overline{u_i^{\prime} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial t}+\overline{u_j} u_i^{\prime} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}+u_j^{\prime} u_i^{\prime} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j}}=\overline{-\frac{1}{\rho} u_i^{\prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x_i}+\nu u_i^{\prime}\frac{\partial^2 u_i^{\prime}}{\partial x_j \partial x_j}
	-u_i^{\prime} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(u_i^{\prime} u_j^{\prime}- \overline {u_i^{\prime} u_j^{\prime}}\right)	} 
$$

进一步整理，有：
$$
	\overline{\frac{1}{2} \frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{t}}+\bar{u}_{j} \frac{1}{2} \frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}}+\mathrm{u}_{j}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime} \frac{\partial \overline{\mathrm{u}}_{i}}{\partial \mathrm{x}_{j}}}=-\overline{\frac{1}{\rho} \frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{p}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{i}}+ \nu \mathrm{u}_{i}^{\prime} \frac{\partial^2 \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j} \partial \mathrm{x}_{j}}-\mathrm{u}_{i}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{j}}\left(\mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{u}_{j}^{\prime}-\overline{\mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{u}_{j}^{\prime}}\right)}
$$

在上述公式中:
\begin{equation} \nonumber
	\begin{cases}
	\overline{\nu u_i^{\prime} \frac{\partial^2 \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j} \partial \mathrm{x}_{j}}}=\nu \overline{\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{j}}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}}\right)}- \nu \overline{\left(\frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}} \cdot \frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}}\right)}=\nu \overline{\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{j}}\left(\frac{1}{2} \frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}}\right)}-\nu \overline{\left(\frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}} \cdot \frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}}\right)}=\nu \frac{\partial^2 \mathrm{k}}{\partial \mathrm{x}_{j}^2}-\varepsilon \\
	
	\begin{aligned}
	-\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{\mathrm{j}}}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \mathrm{u}_{\mathrm{j}}^{\prime}-\overline{\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \mathrm{u}_{\mathrm{j}}^{\prime}}\right) & =-\overline{\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{\mathrm{j}}}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \mathrm{u}_{\mathrm{j}}^{\prime}\right)+\mathrm{u}_i^{\prime} \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{\mathrm{j}}}\left(\overline{\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \mathrm{u}_{\mathrm{j}}^{\prime}}\right)}=-\overline{\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{\mathrm{j}}}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \mathrm{u}_{\mathrm{j}}^{\prime}\right)}+0 \\
	& =-\overline{\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{\mathrm{j}}}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \mathrm{u}_{\mathrm{j}}^{\prime}\right)}
	= \overline{-\frac{\partial (\frac{1}{2} u_i^{\prime}u_i^{\prime}u_j^{\prime})}{\partial x_j}}
	=-\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{j}}\left(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}^{\prime} \mathrm{u}_{\mathrm{j}}^{\prime}}\right)
	\end{aligned}
	\end{cases}
\end{equation}


最后将公式化简为:
\begin{equation} \label{eq50}
	\textcolor{red}{\frac{\partial k}{\partial \mathrm{t}}}+  
	\textcolor{blue}{\overline{\mathrm{u}}_{j} \frac{\partial \mathrm{k}}{\partial \mathrm{x}_{j}}}+
	\textcolor{purple}{\overline{\mathrm{u}_{j}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime} \frac{\partial \overline{\mathrm{u}}_{i}}{\partial \mathrm{x}_{j}}}}=
	\textcolor{orange}{-\frac{1}{\rho} \frac{\overline{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{p}^{\prime}}}{\partial \mathrm{x}_{i}}}+
	\textcolor{brown}{\nu \frac{\partial^2 \mathrm{k}}{\partial \mathrm{x}_{j}^2}}-
	\textcolor{violet}{\varepsilon}-
	\textcolor{teal}{\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}_{j}}\left(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime} \mathrm{u}_{j}^{\prime}}\right)}
\end{equation}

下面对公式\eqref{eq50}的各项分别进行分析：
\begin{enumerate}[1)]
	
	\item  $\frac{\partial k}{\partial t}:$ 脉动动能当地瞬时变化率
	\item  $\bar{u_j}\frac{\partial k}{\partial x_j}:$ 脉动动能的对流传递
	\item  $\overline{\mathrm{u}_{j}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime} \frac{\partial \overline{\mathrm{u}}_{i}}{\partial \mathrm{x}_{j}}}$: 由时均流动传递给脉动流动的能量
	\item  $- \frac{1}{\rho} \frac{\overline{\partial u_i^{\prime} p^{\prime}}}{\partial x_i}:$ 由于脉动压力而引起的脉动动能的传递
	\item  $\nu \frac{\partial ^2 k}{\partial x_j^{2}}$:由于分子黏性而引起的脉动动能的梯度传递	
	\item  $\varepsilon = \nu \overline{\left(\frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}} \cdot \frac{\partial \mathrm{u}_{i}^{\prime}}{\partial \mathrm{x}_{j}}\right)}$: 由于分子黏性作用使脉动动能耗散而转变成热能的部分。一般通过量纲分析将其表示成更简单的形式，如
	$$
		\varepsilon = C*\frac{k^{\frac{3}{2}}}{l}
	$$
	其中$l$为混合长度，一般采用混合长度，模型中的各常数根据实验和理论分析确定，$C^{*}=0.18$
	\item  $- \frac{\partial (\frac{1}{2} \overline{u_i^{\prime} u_i^{\prime} u_j^{\prime}})}{\partial x_j}$: 脉动动能的扩散传递	
\end{enumerate}
其中，对于$\overline{\mathrm{u}_{j}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime} \frac{\partial \overline{\mathrm{u}}_{i}}{\partial \mathrm{x}_{j}}}$ ，根据Boussinesq假设，可将其进一步化简为:
$$
	\overline{\mathrm{u}_{j}^{\prime} \mathrm{u}_{i}^{\prime} \frac{\partial \overline{\mathrm{u}}_{i}}{\partial \mathrm{x}_{j}}} = -\nu_t(\frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i}) \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j}
$$
进一步，引入假设将上述公式中的(4)、(7)合并，将两者看作脉动动能的扩散传递，且写成扩散传递的常规形式(\textcolor{red}{具体的证明过程省略})：
$$
	-\frac{1}{\rho} \frac{\overline{\partial u_i^{\prime} p^{\prime}}}{\partial x_i} - \frac{\partial (\frac{1}{2} \overline{u_i^{\prime} u_i^{\prime} u_j^{\prime}})}{\partial x_j} = 
	-\frac{\partial (\overline{u_i^{\prime} p^{\prime}+ \frac{1}{2}u_i^{\prime} u_i^{\prime} u_j^{\prime}})}{\partial x_j} =  \frac{\partial }{\partial x_j} (\frac{\nu_t \partial k}{\delta _j \partial x_j})
$$
因此，得到K方程为:

\begin{equation}
		\frac{\partial k}{\partial t}  + \bar{u_j} \frac{\partial k}{\partial x_j} =
		\frac{\partial }{\partial x_j} [(\nu + \frac{\nu_t}{\delta_j}) \frac{\partial k}{\partial x_j}] +
		\nu_{t}(\frac{\partial \bar{u_i} }{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u_j} }{\partial x_i}) \frac{\partial \bar{u_i} }{\partial x_j} - C*\frac{k^{\frac{3}{2}}}{l}
\end{equation}
上述公式中，$\delta_j$称为脉动动能的普朗特数，其数值在1.0左右。C*取值为0.08、0.092、0.22等等。

\subsection{Spalart-Allmaras(SA)湍流模型}

\section{二方程模型}

\subsection{$k-\varepsilon$湍流模型}

在一方程模型中，有$\nu_t = C_ulk^{\frac{1}{2}}$。$k-\varepsilon$模型的思路是把一方程模型中的$l$给换掉。根据量纲分析，有$l = k^{\frac{3}{2}}/\varepsilon$。从而湍流脉动运动粘度系数变为：

$$
	\nu_{t} = C_u \frac{k^2}{\varepsilon}
$$
标准$k-\varepsilon$模型通过求解湍动能k方程和湍流耗散率$\varepsilon$方程，得到k和$\varepsilon$的解，然后再用k和$\varepsilon$的值计算湍流粘度，最终通过Boussinesq假设得到雷诺应力的解。我们在推导一方程模型k的偏微分方程的时候已经得到了关于$\varepsilon$的理论表达式：

$$
	\varepsilon = \nu (\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \cdot \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}})
$$

下面推导关于湍流耗散率$\varepsilon$的偏微分方程。首先用正常形式的N-S方程减去雷诺时均形式的N-S方程，得到关于$u_i^{\prime}$的偏微分方程，再对$x_j$求导。然后再在方程两边分别乘以$2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}$，想办法凑出$\varepsilon = \nu (\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \cdot \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}})$，然后做时均化处理，最后整理得到关于$\varepsilon$的偏微分方程。

\textcolor{purple}{正常形式的N-S方程}:

$$
\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = f_i - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\nu \frac{\partial u_i}{\partial x_j})
$$

$$
\frac{\partial (\bar{u_i} + u_i^{'})}{\partial t} + (\bar{u_j} + u_j^{'}) \frac{\partial (\bar{u_i} + u_i^{'})}{\partial x_j} = f_i - \frac{1}{\rho}\frac{\partial (\bar{p} + p^{'})}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\nu \frac{\partial (\bar{u_i} + u_i^{'})}{\partial x_j})
$$

\textcolor{purple}{时均形式的N-S方程}:
$$
\frac{\partial \bar{u_i}}{\partial t} + \bar{u_j} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} = \bar{f_i} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}(\nu \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} - \overline{u^{'}_i u^{'}_j})
$$

\textcolor{purple}{脉动形式的N-S方程(瞬时方程-时均方程)}:
$$
\frac{\partial u_i^{'}}{\partial t} + \bar{u_j} \frac{\partial u_i^{'}}{\partial x_j} + u_j^{'} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} + u_j^{'} \frac{\partial u_i^{'}}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p^{'}}{\partial x_i} + \nu\frac{\partial ^2 u_i^{'}}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_i^{'}u_j^{'}}}{\partial x_j}
$$

又因为脉动运动的连续性方程: $\frac{\partial u_j^{'}}{\partial x_j}=0$，
进一步有： $u_j^{'} \frac{u_i{'}}{\partial x_j} = \frac{\partial (u_j^{'}u_i{'})}{\partial x_j} - u_i^{'} \frac{\partial u_j^{'}}{\partial x_j}} = \frac{\partial (u_j^{'} u_i^{'})}{\partial x_j}$

因此，脉动运动的动量方程还可写成:
$$
\frac{\partial u_i^{'}}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial u_i^{'}}{\partial x_j} + u_j^{'} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p^{'}}{\partial x_i} + \nu\frac{\partial ^2 u_i^{'}}{\partial x_j \partial x_j} -\frac{\partial}{\partial x_j} \textcolor{magenta}{(u_i^{'} u_j^{'} - \overline{u_i^{'} u_j^{'})}}
$$

进一步对$x_j$求导，有:
$$
	\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}) + \frac{\partial }{\partial x_j}(\overline{u_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}) + \frac{\partial}{\partial x_j}(u_j^{\prime} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j}) =  -\frac{1}{\rho} \frac{\partial^2 p^{\prime}}{\partial x_i \partial x_j} + \nu\frac{\partial ^3 u_i^{\prime}}{\partial x_j \partial x_j \partial x_j} - \frac{\partial^2}{\partial x_j \partial x_j} \textcolor{magenta}{(u_i^{\prime} u_j^{\prime} - \overline{u_i^{\prime} u_j^{\prime})}}
$$

两边同乘以$2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}$：
\begin{equation} \nonumber
	\begin{aligned}
		2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}) + 2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial }{\partial x_j}(\overline{u_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}) + 2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial x_j}(u_j^{\prime} \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j}) \\
			= -\frac{1}{\rho} 2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial^2 p^{\prime}}{\partial x_i \partial x_j} + \nu 2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial ^3 u_i^{\prime}}{\partial x_j \partial x_j \partial x_j} - 2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial^2}{\partial x_j \partial x_j} \textcolor{magenta}{(u_i^{\prime} u_j^{\prime} - \overline{u_i^{\prime} u_j^{\prime})}}
	\end{aligned}
\end{equation}

对上述式子进行整理：
\begin{equation} \nonumber
\begin{aligned}
	2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}) + 2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} 
	(\overline{u_j} \frac{\partial^2 u_i^{\prime}}{\partial x_j^2} + \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_j})
	 + 2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} 
	 (u_j^{\prime} \frac{\partial ^2 \overline{u_i}}{\partial x_j^2} + \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j}) \\
	= -\frac{2}{\rho} \nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial^2 p^{\prime}}{\partial x_i \partial x_j} + 2\nu^2 \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial ^3 u_i^{\prime}}{\partial x_j \partial x_j \partial x_j} - 2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial^2}{\partial x_j \partial x_j} \textcolor{magenta}{(u_i^{\prime} u_j^{\prime} - \overline{u_i^{\prime} u_j^{\prime})}}
\end{aligned}
\end{equation}

对上式各项取时均值，下面对每一项进行逐一分析:
\begin{enumerate}[1)]
	
	\item  $\overline{2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j})}
	 = \frac{\partial}{\partial t}(\nu \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j}})
	 = \frac{\partial \varepsilon}{\partial t}$
	\item $2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} 
	(\overline{u_j} \frac{\partial^2 u_i^{\prime}}{\partial x_j^2} + \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_j})
	= \overline{u_j} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} + 2 \nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} \overline{\frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_i}}$
	\item $2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} 
	(u_j^{\prime} \frac{\partial ^2 \overline{u_i}}{\partial x_j^2} + \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j})
	= 2\nu \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} u_j^{\prime}} \frac{\partial^2\overline{u_i}}{\partial x_j^2} + 2 \nu \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j}}$
	
	\item  $-\frac{2}{\rho} \nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial^2 p^{\prime}}{\partial x_i \partial x_j} = -\frac{2}{\rho} \nu \frac{\partial}{\partial x_i}(\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x_j}})$
	
	\item $2\nu^2 \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial ^3 u_i^{\prime}}{\partial x_j \partial x_j \partial x_j}
	= \nu \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial x_j^2} - 2\nu^2 \overline{[\frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j})]^2}$
	
	\item  $2\nu \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial^2}{\partial x_j \partial x_j} \textcolor{magenta}{(u_i^{\prime} u_j^{\prime} - \overline{u_i^{\prime} u_j^{\prime})}}
	= -2\nu \overline{(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j})} - \overline{u_j^{\prime} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j}}$
\end{enumerate}

对上述式子进行整理：
\begin{equation} \nonumber
\begin{aligned}
		\frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + (\overline{u_j} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} + 2 \nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} \overline{\frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_i}}) + (2\nu \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} u_j^{\prime}} \frac{\partial^2\overline{u_i}}{\partial x_j^2} + 2 \nu \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j}}) \\
		= -\frac{2}{\rho} \nu \frac{\partial}{\partial x_i}(\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x_j}}) + 
		(\nu \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial x_j^2} 
		- 2\nu^2 \overline{[\frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j})]^2}) + (-2\nu \overline{(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j})} - \overline{u_j^{\prime} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j}})
\end{aligned}
\end{equation}

进一步整理，得：
\begin{equation} \nonumber
	\begin{aligned}
		\frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} 
		= 
		-2\nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} (\overline{\frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_i}} + \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j}}) 
		-\frac{2}{\rho} \nu \frac{\partial}{\partial x_i}(\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x_j}})+ \\
		\nu \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial x_j^2} - 2\nu^2 \overline{[\frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j})]^2} 
		-2\nu \overline{(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j})} - \overline{u_j^{\prime} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j}} - 
		2\nu \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} u_j^{\prime}} \frac{\partial^2\overline{u_i}}{\partial x_j^2}
	\end{aligned}
\end{equation}

最后整理得到：
\begin{equation} \nonumber
\begin{aligned}
	\frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} 
	= -2\nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j}}
	-2\nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} \overline{\frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_i}} 
	- 2\nu \overline{u_j^{\prime} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} } \frac{\partial^2\overline{u_i}}{\partial x_j^2}  \\
	-2\nu \overline{(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j})} 
	 - 	2\nu^2 \overline{[\frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j})]^2} 
	 - \overline{ \frac{\partial (u_j^{\prime} \varepsilon)}{\partial x_j}}
	 -\frac{2}{\rho} \nu \frac{\partial}{\partial x_i}(\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x_j}})
	 + \nu \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial x_j^2} 
\end{aligned}
\end{equation}

上述公式为不可压缩的湍流耗散率$\varepsilon$的方程，最早于1961年由Davydov推导得出。最后可以得到一个化简的偏微分方程。

\begin{equation}
    	\begin{cases}
    		\textcolor{red}{\frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} 
    	    = P_{\varepsilon} - \Phi_{\varepsilon} + D_{\varepsilon} }   \\
    	    
    	    P_{\varepsilon} = -2\nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j}}
    	    -2\nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} \overline{\frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_i}} 
    	    - 2\nu \overline{u_j^{\prime} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} } \frac{\partial^2\overline{u_i}}{\partial x_j^2}  
    	    -2\nu \overline{(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j})}  \\
    	    
    	    \Phi_{\varepsilon} = 	2\nu^2 \overline{[\frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j})]^2} \\
    	    
    	    D_{\varepsilon} = - \overline{ \frac{\partial (u_j^{\prime} \varepsilon)}{\partial x_j}}
    	    -\frac{2}{\rho} \nu \frac{\partial}{\partial x_i}(\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x_j}})
    	    + \nu \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial x_j^2} 
    	    
    	\end{cases}
\end{equation}

在上述式中，除了$\varepsilon$以外还引入了更高阶的脉动值乘积的时均值。为了使方程封闭，需要进一步进行假设，对各项进行建模。

\begin{equation} \nonumber
\begin{aligned}
\frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} 
= 
\textcolor{red}{-2\nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} (\overline{\frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_i}} + \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j}})}
\textcolor{blue}{-\frac{2}{\rho} \nu \frac{\partial}{\partial x_i}(\overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x_j}})+ 
\nu \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial x_j^2}}\\
\textcolor{orange}{- 2\nu^2 \overline{[\frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j})]^2} }
\textcolor{violet}{-2\nu \overline{(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j})} }
\textcolor{teal}{- \overline{u_j^{\prime} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j}}}
\textcolor{brown}{-2\nu \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} u_j^{\prime}} \frac{\partial^2\overline{u_i}}{\partial x_j^2}}
\end{aligned}
\end{equation}

对于第一项红色部分，其形式与$\varepsilon$很相近，可将其近似的表示为：

$$
	\textcolor{red}{-2\nu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} (\overline{\frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_i}} + \overline{\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j}}) = c_1 \frac{\varepsilon}{k} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} \frac{\mu_t}{\rho}(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i})}
$$

对于第二项中的蓝色部分，可将其近似为:
$$
\textcolor{blue}{\nu \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial x_j^2}}
$$

第三项中的橘色部分以及第四项的紫色部分代表了由于黏性作用而引起的耗散率的衰减以及旋涡脉动的产生率。在高湍流雷诺数$Re_t$下，可以认为与运动粘度$\nu$无关，可将其近似的取为：

$$
	\textcolor{orange}{-2\nu^2 \overline{[\frac{\partial }{\partial x_j}(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j})]^2} } 
	\textcolor{violet}{-2\nu \overline{(\frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_i^{\prime}}{\partial x_j} \frac{\partial u_j^{\prime}}{\partial x_j})}  = -c_2 \frac{\varepsilon^2}{k}}
$$

第五项绿色部分表示由于速度脉动引起的$\varepsilon$的扩散，可表示为:

$$
	\textcolor{teal}{- \overline{u_j^{\prime} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j}} 
	= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial x_j} (\frac{\mu_t}{\sigma_{\varepsilon}} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j}) }
$$

第六项棕色部分可表示成平均流动参数的一阶与二阶导数的乘积，也可近似地忽略不计。在做了上述简化处理后，可得到关于$\varepsilon$的方程：

\begin{equation}
	    \rho \frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \rho \overline{u_j} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} 
	    = c_1 \frac{\varepsilon}{k} \mu_t \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} (\frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u_j}}{\partial x_i}) + 
	    \frac{\partial}{\partial x_j}[(\mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\varepsilon} ) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j}] - c_2 \rho \frac{\varepsilon^2}{k}
\end{equation}

进一步可将k方程改写为:
\begin{equation}
	    		\frac{\partial k}{\partial t}  + \bar{u_j} \frac{\partial k}{\partial x_j} =
	    \frac{\partial }{\partial x_j} [(\nu + \frac{\nu_t}{\sigma_j}) \frac{\partial k}{\partial x_j}] +
	    \nu_{t}(\frac{\partial \bar{u_i} }{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u_j} }{\partial x_i}) \frac{\partial \bar{u_i} }{\partial x_j} - \rho \varepsilon
\end{equation}

\subsection{$k-\omega$湍流模型}
与$k-\varepsilon$模型相比，$k-\omega$的涡粘性系数$\nu_t$用k和涡度$\omega$表示：$\nu_{t} = \alpha * \frac{k}{\omega}$，然后建立关于k和涡度$\omega$的输运方程。
\begin{equation}
	\begin{cases}
		\frac{\partial k}{\partial t} + \bar{u_j} \frac{\partial k}{\partial x_j} =  \\ 
		dede
	\end{cases}
\end{equation}

\subsection{$SST$湍流模型}

\chapter{机器学习基础}

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\end{itemize}

\section{模型降阶方法之经典POD方法}

\section{模型降阶方法之快照POD方法}

\begin{description}
	\item[Step1:] 首先需使用全部试验或模拟数据计算出时均流场$\bar{U}(x,t)$。在一些POD论文中，时均流场也被称为POD的第0阶模态，表示不随时间变换的流动结构，然后使用不同观测点组成的瞬时速度矩阵$U(x,t)$减去时均流场$\bar{U}(x,t)$，得到每个时刻的脉动速度矩阵$U^{'}(x,t)$。
	\item[Step2:] 重新构造脉动速度矩阵$U^'$。脉动速度矩阵阵$U^'$重新表示为$(u_{mn};v_{mn})$的形式，u和v为脉动速度分量，其中m是采样点的数目，n是快照的个数。如果是三维流场，可将脉动速度w置于同一时刻v的下面，组成一个列向量。
	$$
		U^{'} = [U_1, U_2, U_3, ... , U_n, V_1, V_2,V_3,...,V_n]
	$$
	\begin{center}
		\begin{bmatrix}
		U_{1,1}   &   \cdots & U_{1,n} \\
		\vdots    &   \ddots & \vdots \\
		U_{m,1}   &   \cdots & U_{m,n} \\
		V_{m+1,1} &   \cdots & V_{m+1,n} \\
		\vdots    &   \cdots &  \vdots   \\
		V_{2m,1} &    \cdots & V_{2m, n}
	\end{bmatrix}
	\end{center}
	\item[Step3:] 通过构造矩阵$U^'$计算出它的相关矩阵$R$:
		  $$
		  	R = \frac{1}{N}U^{'T}U^{'}
		  $$
		  快照POD方法将直接POD方法的相关矩阵R转换为一个低维相关矩阵R来处理，这里N<m。从而大幅度降低计算和储存成本。
	\item[Step4:]求解相关矩阵R的特征值$\lambda_i=diag(\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_N) (\lambda_1> \lambda_2,...,>\lambda_N)$与特征向量$\phi$
	$$
		R \phi = \lambda_i \phi_i
	$$
	将特征值与特征向量按照特征值的大小从大到小进行排列
	\item[Step5:] 通过脉动速度$U^'$，求解得到特征值和相关矩阵的特征向量，求出标准正交基函数$\phi_1, \phi_2,...,\phi_N$，即POD模态。
	$$
		\phi_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}} U^{'} \phi_i, i=1,2,...,N
	$$
	\item[Step6:]求出时间系数: $a_i(t) = U^{'T}$$\phi_i$。
	\item[Step7:]通过求解得到的POD模态以及对应的时间系数，重构任意时刻的速度场：
	$$
		U(x,t) = \bar{U}(x,t) + \sum_{i=1}^{N} a_i(t) \phi_i(t)
	$$
\end{description}

\section{模型降阶方法之SVD POD方法}





PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。网上关于PCA的文章有很多，但是大多数只描述了PCA的分析过程，而没有讲述其中的原理。这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理，帮助读者了解PCA的工作机制是什么。

当然我并不打算把文章写成纯数学文章，而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理，所以整个文章不会引入严格的数学推导。希望读者在看完这篇文章后能更好的明白PCA的工作原理。

# 数据的向量表示及降维问题

一般情况下，在数据挖掘和机器学习中，数据被表示为向量。例如某个淘宝店2012年全年的流量及交易情况可以看成一组记录的集合，其中每一天的数据是一条记录，格式如下：

(日期, 浏览量, 访客数, 下单数, 成交数, 成交金额)

其中“日期”是一个记录标志而非度量值，而数据挖掘关心的大多是度量值，因此如果我们忽略日期这个字段后，我们得到一组记录，每条记录可以被表示为一个五维向量，其中一条看起来大约是这个样子：

$$(500,240,25,13,2312.15)^\mathsf{T}$$

注意这里我用了转置，因为习惯上使用列向量表示一条记录（后面会看到原因），本文后面也会遵循这个准则。不过为了方便有时我会省略转置符号，但我们说到向量默认都是指列向量。

我们当然可以对这一组五维向量进行分析和挖掘，不过我们知道，很多机器学习算法的复杂度和数据的维数有着密切关系，甚至与维数呈指数级关联。当然，这里区区五维的数据，也许还无所谓，但是实际机器学习中处理成千上万甚至几十万维的情况也并不罕见，在这种情况下，机器学习的资源消耗是不可接受的，因此我们必须对数据进行降维。

降维当然意味着信息的丢失，不过鉴于实际数据本身常常存在的相关性，我们可以想办法在降维的同时将信息的损失尽量降低。

举个例子，假如某学籍数据有两列M和F，其中M列的取值是如何此学生为男性取值1，为女性取值0；而F列是学生为女性取值1，男性取值0。此时如果我们统计全部学籍数据，会发现对于任何一条记录来说，当M为1时F必定为0，反之当M为0时F必定为1。在这种情况下，我们将M或F去掉实际上没有任何信息的损失，因为只要保留一列就可以完全还原另一列。

当然上面是一个极端的情况，在现实中也许不会出现，不过类似的情况还是很常见的。例如上面淘宝店铺的数据，从经验我们可以知道，“浏览量”和“访客数”往往具有较强的相关关系，而“下单数”和“成交数”也具有较强的相关关系。这里我们非正式的使用“相关关系”这个词，可以直观理解为“当某一天这个店铺的浏览量较高（或较低）时，我们应该很大程度上认为这天的访客数也较高（或较低）”。后面的章节中我们会给出相关性的严格数学定义。

这种情况表明，如果我们删除浏览量或访客数其中一个指标，我们应该期待并不会丢失太多信息。因此我们可以删除一个，以降低机器学习算法的复杂度。

上面给出的是降维的朴素思想描述，可以有助于直观理解降维的动机和可行性，但并不具有操作指导意义。例如，我们到底删除哪一列损失的信息才最小？亦或根本不是单纯删除几列，而是通过某些变换将原始数据变为更少的列但又使得丢失的信息最小？到底如何度量丢失信息的多少？如何根据原始数据决定具体的降维操作步骤？

要回答上面的问题，就要对降维问题进行数学化和形式化的讨论。而PCA是一种具有严格数学基础并且已被广泛采用的降维方法。下面我不会直接描述PCA，而是通过逐步分析问题，让我们一起重新“发明”一遍PCA。

# 向量的表示及基变换

既然我们面对的数据被抽象为一组向量，那么下面有必要研究一些向量的数学性质。而这些数学性质将成为后续导出PCA的理论基础。

## 内积与投影

下面先来看一个高中就学过的向量运算：内积。两个维数相同的向量的内积被定义为：

$$(a_1,a_2,\cdots,a_n)^\mathsf{T}\cdot (b_1,b_2,\cdots,b_n)^\mathsf{T}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$$

内积运算将两个向量映射为一个实数。其计算方式非常容易理解，但是其意义并不明显。下面我们分析内积的几何意义。假设A和B是两个n维向量，我们知道n维向量可以等价表示为n维空间中的一条从原点发射的有向线段，为了简单起见我们假设A和B均为二维向量，则$A=(x_1,y_1)$，$B=(x_2,y_2)$。则在二维平面上A和B可以用两条发自原点的有向线段表示，见下图：

![img](https://blog.codinglabs.org/uploads/pictures/pca-tutorial/01.png)

好，现在我们从A点向B所在直线引一条垂线。我们知道垂线与B的交点叫做A在B上的投影，再设A与B的夹角是a，则投影的矢量长度为$|A|cos(a)$，其中$|A|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$是向量A的模，也就是A线段的标量长度。

注意这里我们专门区分了矢量长度和标量长度，标量长度总是大于等于0，值就是线段的长度；而矢量长度可能为负，其绝对值是线段长度，而符号取决于其方向与标准方向相同或相反。

到这里还是看不出内积和这东西有什么关系，不过如果我们将内积表示为另一种我们熟悉的形式：

$$A\cdot B=|A||B|cos(a)$$

现在事情似乎是有点眉目了：A与B的内积等于A到B的投影长度乘以B的模。再进一步，如果我们假设B的模为1，即让$|B|=1$，那么就变成了：

$$A\cdot B=|A|cos(a)$$

也就是说，**设向量B的模为1，则A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度**！这就是内积的一种几何解释，也是我们得到的第一个重要结论。在后面的推导中，将反复使用这个结论。

## 基

下面我们继续在二维空间内讨论向量。上文说过，一个二维向量可以对应二维笛卡尔直角坐标系中从原点出发的一个有向线段。例如下面这个向量：

![img](https://blog.codinglabs.org/uploads/pictures/pca-tutorial/02.png)

在代数表示方面，我们经常用线段终点的点坐标表示向量，例如上面的向量可以表示为(3,2)，这是我们再熟悉不过的向量表示。

不过我们常常忽略，**只有一个(3,2)本身是不能够精确表示一个向量的**。我们仔细看一下，这里的3实际表示的是向量在x轴上的投影值是3，在y轴上的投影值是2。也就是说我们其实隐式引入了一个定义：以x轴和y轴上正方向长度为1的向量为标准。那么一个向量(3,2)实际是说在x轴投影为3而y轴的投影为2。注意投影是一个矢量，所以可以为负。

更正式的说，向量(x,y)实际上表示线性组合：

$$x(1,0)^\mathsf{T}+y(0,1)^\mathsf{T}$$

不难证明所有二维向量都可以表示为这样的线性组合。此处(1,0)和(0,1)叫做二维空间中的一组基。

![img](https://blog.codinglabs.org/uploads/pictures/pca-tutorial/03.png)

所以，**要准确描述向量，首先要确定一组基，然后给出在基所在的各个直线上的投影值，就可以了**。只不过我们经常省略第一步，而默认以(1,0)和(0,1)为基。

我们之所以默认选择(1,0)和(0,1)为基，当然是比较方便，因为它们分别是x和y轴正方向上的单位向量，因此就使得二维平面上点坐标和向量一一对应，非常方便。但实际上任何两个线性无关的二维向量都可以成为一组基，所谓线性无关在二维平面内可以直观认为是两个不在一条直线上的向量。

例如，(1,1)和(-1,1)也可以成为一组基。一般来说，我们希望基的模是1，因为从内积的意义可以看到，如果基的模是1，那么就可以方便的用向量点乘基而直接获得其在新基上的坐标了！实际上，对应任何一个向量我们总可以找到其同方向上模为1的向量，只要让两个分量分别除以模就好了。例如，上面的基可以变为$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$和$(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$。

现在，我们想获得(3,2)在新基上的坐标，即在两个方向上的投影矢量值，那么根据内积的几何意义，我们只要分别计算(3,2)和两个基的内积，不难得到新的坐标为$(\frac{5}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$。下图给出了新的基以及(3,2)在新基上坐标值的示意图：

![img](https://blog.codinglabs.org/uploads/pictures/pca-tutorial/05.png)

另外这里要注意的是，我们列举的例子中基是正交的（即内积为0，或直观说相互垂直），但可以成为一组基的唯一要求就是线性无关，非正交的基也是可以的。不过因为正交基有较好的性质，所以一般使用的基都是正交的。

## 基变换的矩阵表示

下面我们找一种简便的方式来表示基变换。还是拿上面的例子，想一下，将(3,2)变换为新基上的坐标，就是用(3,2)与第一个基做内积运算，作为第一个新的坐标分量，然后用(3,2)与第二个基做内积运算，作为第二个新坐标的分量。实际上，我们可以用矩阵相乘的形式简洁的表示这个变换：

$$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$$

太漂亮了！其中矩阵的两行分别为两个基，乘以原向量，其结果刚好为新基的坐标。可以稍微推广一下，如果我们有m个二维向量，只要将二维向量按列排成一个两行m列矩阵，然后用“基矩阵”乘以这个矩阵，就得到了所有这些向量在新基下的值。例如(1,1)，(2,2)，(3,3)，想变换到刚才那组基上，则可以这样表示：

$$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/\sqrt{2} & 4/\sqrt{2} & 6/\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

于是一组向量的基变换被干净的表示为矩阵的相乘。

**一般的，如果我们有M个N维向量，想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果**。

数学表示为：

$$\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ \vdots \\ p_R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1a_1 & p_1a_2 & \cdots & p_1a_M \\ p_2a_1 & p_2a_2 & \cdots & p_2a_M \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_Ra_1 & p_Ra_2 & \cdots & p_Ra_M \end{pmatrix}$$

其中$p_i$是一个行向量，表示第i个基，$a_j$是一个列向量，表示第j个原始数据记录。

特别要注意的是，这里R可以小于N，而R决定了变换后数据的维数。也就是说，我们可以将一N维数据变换到更低维度的空间中去，变换后的维度取决于基的数量。因此这种矩阵相乘的表示也可以表示降维变换。

最后，上述分析同时给矩阵相乘找到了一种物理解释：**两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去**。更抽象的说，一个矩阵可以表示一种线性变换。很多同学在学线性代数时对矩阵相乘的方法感到奇怪，但是如果明白了矩阵相乘的物理意义，其合理性就一目了然了。

# 协方差矩阵及优化目标

上面我们讨论了选择不同的基可以对同样一组数据给出不同的表示，而且如果基的数量少于向量本身的维数，则可以达到降维的效果。但是我们还没有回答一个最最关键的问题：如何选择基才是最优的。或者说，如果我们有一组N维向量，现在要将其降到K维（K小于N），那么我们应该如何选择K个基才能最大程度保留原有的信息？

要完全数学化这个问题非常繁杂，这里我们用一种非形式化的直观方法来看这个问题。

为了避免过于抽象的讨论，我们仍以一个具体的例子展开。假设我们的数据由五条记录组成，将它们表示成矩阵形式：

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 3 & 4 & 4 \end{pmatrix}$$

其中每一列为一条数据记录，而一行为一个字段。为了后续处理方便，我们首先将每个字段内所有值都减去字段均值，其结果是将每个字段都变为均值为0（这样做的道理和好处后面会看到）。

我们看上面的数据，第一个字段均值为2，第二个字段均值为3，所以变换后：

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

我们可以看下五条数据在平面直角坐标系内的样子：

![img](https://blog.codinglabs.org/uploads/pictures/pca-tutorial/06.png)

现在问题来了：如果我们必须使用一维来表示这些数据，又希望尽量保留原始的信息，你要如何选择？

通过上一节对基变换的讨论我们知道，这个问题实际上是要在二维平面中选择一个方向，将所有数据都投影到这个方向所在直线上，用投影值表示原始记录。这是一个实际的二维降到一维的问题。

那么如何选择这个方向（或者说基）才能尽量保留最多的原始信息呢？一种直观的看法是：希望投影后的投影值尽可能分散。

以上图为例，可以看出如果向x轴投影，那么最左边的两个点会重叠在一起，中间的两个点也会重叠在一起，于是本身四个各不相同的二维点投影后只剩下两个不同的值了，这是一种严重的信息丢失，同理，如果向y轴投影最上面的两个点和分布在x轴上的两个点也会重叠。所以看来x和y轴都不是最好的投影选择。我们直观目测，如果向通过第一象限和第三象限的斜线投影，则五个点在投影后还是可以区分的。

下面，我们用数学方法表述这个问题。

## 方差

上文说到，我们希望投影后投影值尽可能分散，而这种分散程度，可以用数学上的方差来表述。此处，一个字段的方差可以看做是每个元素与字段均值的差的平方和的均值，即：

$$Var(a)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{(a_i-\mu)^2}$$

由于上面我们已经将每个字段的均值都化为0了，因此方差可以直接用每个元素的平方和除以元素个数表示：

$$Var(a)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{a_i^2}$$

于是上面的问题被形式化表述为：寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，方差值最大。

## 协方差

对于上面二维降成一维的问题来说，找到那个使得方差最大的方向就可以了。不过对于更高维，还有一个问题需要解决。考虑三维降到二维问题。与之前相同，首先我们希望找到一个方向使得投影后方差最大，这样就完成了第一个方向的选择，继而我们选择第二个投影方向。

如果我们还是单纯只选择方差最大的方向，很明显，这个方向与第一个方向应该是“几乎重合在一起”，显然这样的维度是没有用的，因此，应该有其他约束条件。从直观上说，让两个字段尽可能表示更多的原始信息，我们是不希望它们之间存在（线性）相关性的，因为相关性意味着两个字段不是完全独立，必然存在重复表示的信息。

数学上可以用两个字段的协方差表示其相关性，由于已经让每个字段均值为0，则：

$$Cov(a,b)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{a_ib_i}$$

可以看到，在字段均值为0的情况下，两个字段的协方差简洁的表示为其内积除以元素数m。

当协方差为0时，表示两个字段完全独立。为了让协方差为0，我们选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上选择。因此最终选择的两个方向一定是正交的。

至此，我们得到了降维问题的优化目标：**将一组N维向量降为K维（K大于0，小于N），其目标是选择K个单位（模为1）正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，而字段的方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的K个方差）**。

## 协方差矩阵

上面我们导出了优化目标，但是这个目标似乎不能直接作为操作指南（或者说算法），因为它只说要什么，但根本没有说怎么做。所以我们要继续在数学上研究计算方案。

我们看到，最终要达到的目的与字段内方差及字段间协方差有密切关系。因此我们希望能将两者统一表示，仔细观察发现，两者均可以表示为内积的形式，而内积又与矩阵相乘密切相关。于是我们来了灵感：

假设我们只有a和b两个字段，那么我们将它们按行组成矩阵X：

$$X=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_m \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_m \end{pmatrix}$$

然后我们用X乘以X的转置，并乘上系数1/m：

$$\frac{1}{m}XX^\mathsf{T}=\begin{pmatrix} \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{a_i^2} & \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{a_ib_i} \\ \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{a_ib_i} & \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{b_i^2} \end{pmatrix}$$

奇迹出现了！这个矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是a和b的协方差。两者被统一到了一个矩阵的。

根据矩阵相乘的运算法则，这个结论很容易被推广到一般情况：

**设我们有m个n维数据记录，将其按列排成n乘m的矩阵X，设$C=\frac{1}{m}XX^\mathsf{T}$，则C是一个对称矩阵，其对角线分别个各个字段的方差，而第i行j列和j行i列元素相同，表示i和j两个字段的协方差**。

## 协方差矩阵对角化

根据上述推导，我们发现要达到优化目前，等价于将协方差矩阵对角化：即除对角线外的其它元素化为0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列，这样我们就达到了优化目的。这样说可能还不是很明晰，我们进一步看下原矩阵与基变换后矩阵协方差矩阵的关系：

设原始数据矩阵X对应的协方差矩阵为C，而P是一组基按行组成的矩阵，设Y=PX，则Y为X对P做基变换后的数据。设Y的协方差矩阵为D，我们推导一下D与C的关系：

$$\begin{array}{l l l} D & = & \frac{1}{m}YY^\mathsf{T} \\ & = & \frac{1}{m}(PX)(PX)^\mathsf{T} \\ & = & \frac{1}{m}PXX^\mathsf{T}P^\mathsf{T} \\ & = & P(\frac{1}{m}XX^\mathsf{T})P^\mathsf{T} \\ & = & PCP^\mathsf{T} \end{array}$$

现在事情很明白了！我们要找的P不是别的，而是能让原始协方差矩阵对角化的P。换句话说，优化目标变成了**寻找一个矩阵P，满足$PCP^\mathsf{T}$是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么P的前K行就是要寻找的基，用P的前K行组成的矩阵乘以X就使得X从N维降到了K维并满足上述优化条件**。

至此，我们离“发明”PCA还有仅一步之遥！

现在所有焦点都聚焦在了协方差矩阵对角化问题上，有时，我们真应该感谢数学家的先行，因为矩阵对角化在线性代数领域已经属于被玩烂了的东西，所以这在数学上根本不是问题。

由上文知道，协方差矩阵C是一个是对称矩阵，在线性代数上，实对称矩阵有一系列非常好的性质：

1）实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交。

2）设特征向量$\lambda$重数为r，则必然存在r个线性无关的特征向量对应于$\lambda$，因此可以将这r个特征向量单位正交化。

由上面两条可知，一个n行n列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量，设这n个特征向量为$e_1,e_2,\cdots,e_n$，我们将其按列组成矩阵：

$$E=\begin{pmatrix} e_1 & e_2 & \cdots & e_n \end{pmatrix}$$

则对协方差矩阵C有如下结论：

$$E^\mathsf{T}CE=\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$$

其中$\Lambda$为对角矩阵，其对角元素为各特征向量对应的特征值（可能有重复）。

以上结论不再给出严格的数学证明，对证明感兴趣的朋友可以参考线性代数书籍关于“实对称矩阵对角化”的内容。

到这里，我们发现我们已经找到了需要的矩阵P：

$$P=E^\mathsf{T}$$

P是协方差矩阵的特征向量单位化后按行排列出的矩阵，其中每一行都是C的一个特征向量。如果设P按照$\Lambda$中特征值的从大到小，将特征向量从上到下排列，则用P的前K行组成的矩阵乘以原始数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y。

至此我们完成了整个PCA的数学原理讨论。在下面的一节，我们将给出PCA的一个实例。

# 算法及实例

为了巩固上面的理论，我们在这一节给出一个具体的PCA实例。

## PCA算法

总结一下PCA的算法步骤：

设有m条n维数据。

1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X

2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值

3）求出协方差矩阵$C=\frac{1}{m}XX^\mathsf{T}$

4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量

5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P

6）$Y=PX$即为降维到k维后的数据

## 实例

这里以上文提到的

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

为例，我们用PCA方法将这组二维数据其降到一维。

因为这个矩阵的每行已经是零均值，这里我们直接求协方差矩阵：

$$C=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{6}{5} \end{pmatrix}$$

然后求其特征值和特征向量，具体求解方法不再详述，可以参考相关资料。求解后特征值为：

$$\lambda_1=2,\lambda_2=2/5$$

其对应的特征向量分别是：

$$c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},c_2\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

其中对应的特征向量分别是一个通解，$c_1$和$c_2$可取任意实数。那么标准化后的特征向量为：

$$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$$

因此我们的矩阵P是：

$$P=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$$

可以验证协方差矩阵C的对角化：

$$PCP^\mathsf{T}=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6/5 & 4/5 \\ 4/5 & 6/5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2/5 \end{pmatrix}$$

最后我们用P的第一行乘以数据矩阵，就得到了降维后的表示：

$$Y=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 & 3/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$$

降维投影结果如下图：

![img](https://blog.codinglabs.org/uploads/pictures/pca-tutorial/07.png)

# 进一步讨论

根据上面对PCA的数学原理的解释，我们可以了解到一些PCA的能力和限制。PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据“离相关”，也就是让它们在不同正交方向上没有相关性。

因此，PCA也存在一些限制，例如它可以很好的解除线性相关，但是对于高阶相关性就没有办法了，对于存在高阶相关性的数据，可以考虑Kernel PCA，通过Kernel函数将非线性相关转为线性相关，关于这点就不展开讨论了。另外，PCA假设数据各主特征是分布在正交方向上，如果在非正交方向上存在几个方差较大的方向，PCA的效果就大打折扣了。

最后需要说明的是，PCA是一种无参数技术，也就是说面对同样的数据，如果不考虑清洗，谁来做结果都一样，没有主观参数的介入，所以PCA便于通用实现，但是本身无法个性化的优化。

希望这篇文章能帮助朋友们了解PCA的数学理论基础和实现原理，借此了解PCA的适用场景和限制，从而更好的使用这个算法。

\subsection{在线使用模板}

我们把三套模板全部上传到 \href{https://www.overleaf.com/}{Overleaf} 上了，网络便利的用户可以直接通过 Overleaf 在线使用我们的模板。使用 Overleaf 的好处是无需安装 \TeX{} Live，可以随时随地访问自己的文件。查找模板，请在 Overleaf 模板库里面搜索 \lstinline{elegantlatex} 即可，你也可以直接访问\href{https://www.overleaf.com/latex/templates?addsearch=elegantlatex}{搜索结果}。选择适当的模板之后，将其 \lstinline{Open as Template}，即可把模板存到自己账户下，然后可以自由编辑以及与别人一起协作。更多关于 Overleaf 的介绍和使用，请参考 Overleaf 的\href{https://www.overleaf.com/learn}{官方文档}。

\subsection{本地免安装使用}

\textbf{免安装}使用方法如下：从 GitHub 或者 CTAN 下载最新版，严格意义上只需要类文件 \lstinline{elegantbook.cls}。然后将模板文件放在你的工作目录下即可使用。这样使用的好处是，无需安装，简便；缺点是，当模板更新之后，你需要手动替换 \lstinline{cls} 文件。

\subsection{发行版安装与更新}

本模板测试环境为 
\begin{enumerate}
  \item Win10 + \TeX{} Live 2022；
  \item Ubuntu 20.04 + \TeX{} Live 2022；
  \item macOS Monterey + Mac\TeX{} 2022。
\end{enumerate}

\TeX Live/Mac\TeX{} 的安装请参考啸行的\href{https://github.com/OsbertWang/install-latex-guide-zh-cn/releases/}{一份简短的关于安装 \LaTeX{} 安装的介绍}。

安装 \TeX{} Live 之后，安装后建议升级全部宏包，升级方法：使用 cmd 或 terminal 运行 \lstinline{tlmgr update --all}，如果 tlmgr 需要更新，请使用 cmd 运行 \lstinline{tlmgr update --self}，如果更新过程中出现了中断，请改用 \lstinline{tlmgr update --self --all --reinstall-forcibly-removed} 更新，也即

\begin{lstlisting}
tlmgr update --self 
tlmgr update --all
tlmgr update --self --all --reinstall-forcibly-removed
\end{lstlisting}

更多的内容请参考 \href{https://tex.stackexchange.com/questions/55437/how-do-i-update-my-tex-distribution}{How do I update my \TeX{} distribution?}

\subsection{其他发行版本}

由于宏包版本问题，本模板不支持 C\TeX{} 套装，请务必安装 TeX Live/Mac\TeX{}。更多关于 \TeX{} Live 的安装使用以及 C\TeX{} 与 \TeX{} Live 的兼容、系统路径问题，请参考官方文档以及啸行的\href{https://github.com/OsbertWang/install-latex-guide-zh-cn/releases/}{一份简短的关于安装 \LaTeX{} 安装的介绍}。


\section{关于提交}

出于某些因素的考虑，Elegant\LaTeX{} 项目自 2019 年 5 月 20 日开始，\textbf{不再接受任何非作者预约性质的提交}（pull request）！如果你想改进模板，你可以给我们提交 issues，或者可以在遵循协议（LPPL-1.3c）的情况下，克隆到自己仓库下进行修改。


\chapter{强化学习}

本模板基于基础的 book 文类，所以 book 的选项对于本模板也是有效的（纸张无效，因为模板有设备选项）。默认编码为 UTF-8，推荐使用 \TeX{} Live 编译。

\section{语言模式}
本模板内含两套基础语言环境 \lstinline{lang=cn}、\lstinline{lang=en}。改变语言环境会改变图表标题的引导词（图，表），文章结构词（比如目录，参考文献等），以及定理环境中的引导词（比如定理，引理等）。不同语言模式的启用如下：
\begin{lstlisting}
\documentclass[cn]{elegantbook} 
\documentclass[lang=cn]{elegantbook}
\end{lstlisting}

除模板自带的两套语言设定之外，由\textbf{网友}提供的其他语言环境设置如下：
\begin{itemize}
  \item 由 \href{https://github.com/VincentMVV}{VincentMVV} 提供的意大利语翻译 \lstinline{lang=it}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/85}{Italian translation}；
  \item 由 \href{https://github.com/abfek66}{abfek66} 提供的法语翻译 \lstinline{lang=fr}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/85}{Italian translation}；
  % \item 由 \href{https://github.com/stultus}{stultus} 提供的马拉雅拉姆语翻译 \lstinline{lang=}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/90}{Malayalam translation}；
  \item 由 \href{https://github.com/inktvis75}{inktvis75} 提供的荷兰语翻译 \lstinline{lang=nl}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/108}{Dutch Translation}；
  \item 由 \href{https://github.com/palkotamas}{palkotamas} 提供的匈牙利语翻译 \lstinline{lang=hu}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/111}{Hungarian translation}；
  \item 由 Lisa 提供的德语翻译 \lstinline{lang=de}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/113}{Deutsch translation}；
  \item 由 Gustavo A. Corradi 提供的西班牙语的翻译 \lstinline{lang=es}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/133}{Spanish translation}；
  \item 由 \href{https://github.com/Altantsooj}{Altantsooj} 提供的蒙古语的翻译 \lstinline{lang=mn}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/137}{Mongolian translation}；
  \item 由 \href{https://github.com/inusturbo}{inusturbo} 提供的日本语的翻译 \lstinline{lang=jp}，相关讨论见 \href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/issues/172}{Japanese Translation}。
\end{itemize}



\begin{remark}
以上各个语言的设定均为网友设定，我们未对上述翻译进行过校对，如果有问题，请在对应的 issue 下评论。并且，只有中文环境（\lstinline{lang=cn}）才可以输入中文。
\end{remark}

\section{设备选项}
最早我们在 ElegantNote 模板中加入了设备选项（\lstinline{device}），后来，我们觉得这个设备选项的设置可以应用到 ElegantBook 中\footnote{不过因为 ElegantBook 模板封面图片的存在，在修改页面设计时，需要对图片进行裁剪。}，而且 Book 一般内容比较多，如果在 iPad 上看无需切边，放大，那用户的阅读体验将会得到巨大提升。你可以使用下面的选项将版面设置为 iPad 设备模式\footnote{默认为 normal 模式，也即 A4 纸张大小。}
\begin{lstlisting}
\documentclass[pad]{elegantbook} %or
\documentclass[device=pad]{elegantbook}
\end{lstlisting}

\section{颜色主题}

本模板内置 5 组颜色主题，分别为 \textcolor{structure1}{\lstinline{green}}\footnote{为原先默认主题。}、\textcolor{structure2}{\lstinline{cyan}}、\textcolor{structure3}{\lstinline{blue}}（默认）、\textcolor{structure4}{\lstinline{gray}}、\textcolor{structure5}{\lstinline{black}}。另外还有一个自定义的选项  \lstinline{nocolor}。调用颜色主题 \lstinline{green} 的方法为 
\begin{lstlisting}
\documentclass[green]{elegantbook} %or
\documentclass[color=green]{elegantbook}
\end{lstlisting}


\begin{table}[htbp]
  \caption{ElegantBook 模板中的颜色主题\label{tab:color thm}}
  \centering
  \begin{tabular}{ccccccc}
  \toprule
    & \textcolor{structure1}{green} 
    & \textcolor{structure2}{cyan} 
    & \textcolor{structure3}{blue}
    & \textcolor{structure4}{gray} 
    & \textcolor{structure5}{black} 
    & 主要使用的环境\\
  \midrule
    structure & \ccr{structure1}
    & \ccr{structure2}
    & \ccr{structure3} 
    & \ccr{structure4} 
    & \ccr{structure5} 
    & chapter \ section \ subsection \\
    main      & \ccr{main1}
    & \ccr{main2}
    & \ccr{main3}
    & \ccr{main4}
    & \ccr{main5}
    & definition \ exercise \ problem \\
    second    & \ccr{second1}
    & \ccr{second2}
    & \ccr{second3}
    & \ccr{second4}
    & \ccr{second5}
    & theorem \ lemma \ corollary\\
    third     & \ccr{third1}
    & \ccr{third2}
    & \ccr{third3}
    & \ccr{third4}
    & \ccr{third5}
    & proposition\\
  \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

如果需要自定义颜色的话请选择 \lstinline{nocolor} 选项或者使用 \lstinline{color=none}，然后在导言区定义 structurecolor、main、second、third 颜色，具体方法如下：
\begin{lstlisting}[tabsize=4]
\definecolor{structurecolor}{RGB}{0,0,0}
\definecolor{main}{RGB}{70,70,70}    
\definecolor{second}{RGB}{115,45,2}    
\definecolor{third}{RGB}{0,80,80}
\end{lstlisting}

\section{封面}

\subsection{封面个性化}

从 3.10 版本开始，封面更加弹性化，用户可以自行选择输出的内容，包括 \lstinline{\title} 在内的所有封面元素都可为空。目前封面的元素有

\begin{table}[htbp]
  \centering
  \caption{封面元素信息}
  \begin{tabular}{p{0.07\textwidth}p{0.15\textwidth}|p{0.07\textwidth}p{0.15\textwidth}|p{0.07\textwidth}p{0.15\textwidth}}
    \toprule
    信息 & 命令 & 信息 & 命令 & 信息 & 命令 \\
    \midrule
    标题 & \lstinline|\title| & 副标题 & \lstinline|\subtitle| & 作者 & \lstinline|\author| \\
    机构 & \lstinline|\institute| & 日期 &  \lstinline|\date| & 版本 & \lstinline|\version| \\
    箴言 & \lstinline|\extrainfo| & 封面图 & \lstinline|\cover| & 徽标 & \lstinline|\logo| \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

另外，额外增加一个 \lstinline{\bioinfo} 命令，有两个选项，分别是信息标题以及信息内容。比如需要显示{\kaishu User Name：111520}，则可以使用 
\begin{lstlisting}
\bioinfo{User Name}{115520}
\end{lstlisting}

封面中间位置的色块的颜色可以使用下面命令进行修改：
\begin{lstlisting}
\definecolor{customcolor}{RGB}{32,178,170}
\colorlet{coverlinecolor}{customcolor}
\end{lstlisting}

\subsection{封面图}

本模板使用的封面图片来源于 \href{https://pixabay.com/en/tea-time-poetry-coffee-reading-3240766/}{pixabay.com}\footnote{感谢 China\TeX{} 提供免费图源网站，另外还推荐 \href{https://www.pexels.com/}{pexels.com}。}，图片完全免费，可用于任何场景。封面图片的尺寸为 $1280 \times 1024$, 更换图片的时候请\textbf{严格}按照封面图片尺寸进行裁剪。推荐一个免费的在线图片裁剪网站 \href{https://www.fotor.com/cn}{fotor.com}。用户 QQ 群内有一些合适尺寸的封面，欢迎取用。

\subsection{徽标}

本文用到的 Logo 比例为 1:1，也即正方形图片，在更换图片的时候请选择合适的图片进行替换。

\subsection{自定义封面}

另外，如果使用自定义的封面，比如 Adobe illustrator 或者其他软件制作的 A4 PDF 文档，请把 \lstinline{\maketitle} 注释掉，然后借助 \lstinline{pdfpages} 宏包将自制封面插入即可。如果使用 \lstinline{titlepage} 环境，也是类似。如果需要 2.x 版本的封面，请参考 \href{https://github.com/EthanDeng/etitlepage}{etitlepage}。

\section{章标标题}

本模板内置 2 套\textit{章标题显示风格}，包含 \lstinline{hang}（默认）与 \lstinline{display} 两种风格，区别在于章标题单行显示（\lstinline{hang}）与双行显示（\lstinline{display}），本说明使用了 \lstinline{hang}。调用方式为
\begin{lstlisting}
\documentclass[hang]{elegantbook} %or
\documentclass[titlestyle=hang]{elegantbook}
\end{lstlisting}

在章标题内，章节编号默认是以数字显示，也即{\kaishu 第 1 章}，{\kaishu 第 2 章}等等，如果想要把数字改为中文，可以使用
\begin{lstlisting}
\documentclass[chinese]{elegantbook} %or
\documentclass[scheme=chinese]{elegantbook}
\end{lstlisting}

\section{数学环境简介}

在我们这个模板中，我们定义了两种不同的定理模式 \lstinline{mode}，包括简单模式（\lstinline{simple}）和炫彩模式（\lstinline{fancy}），默认为 \lstinline{fancy} 模式，不同模式的选择为
\begin{lstlisting}
\documentclass[simple]{elegantbook} %or
\documentclass[mode=simple]{elegantbook}
\end{lstlisting}

本模板定义了四大类环境

\begin{itemize}
  \item \textit{定理类环境}，包含标题和内容两部分，全部定理类环境的编号均以章节编号。根据格式的不同分为 3 种
    \begin{itemize}
      \item \textcolor{main}{\textbf{definition}} 环境，颜色为 \textcolor{main}{main}；
      \item \textcolor{second}{\textbf{theorem、lemma、corollary、axiom、postulate}} 环境，颜色为 \textcolor{second} {second}；
      \item \textcolor{third}{\textbf{proposition}} 环境，颜色为 \textcolor{third}{third}。
    \end{itemize}
  \item \textit{示例类环境}，有 \textbf{example、problem、exercise} 环境（对应于例、例题、练习），自动编号，编号以章节为单位，其中 \textbf{exercise} 有提示符。
  \item \textit{提示类环境}，有 \textbf{note} 环境，特点是：无编号，有引导符。
  \item \textit{结论类环境}，有 \textbf{conclusion、assumption、property、remark、solution} 环境\footnote{本模板还添加了一个 result 选项，用于隐藏 \lstinline{solution} 和 \lstinline{proof} 环境，默认为显示（\lstinline{result=answer}），隐藏使用 \lstinline{result=noanswer}。}，三者均以粗体的引导词为开头，和普通段落格式一致。
\end{itemize}

\subsection{定理类环境的使用}

由于本模板使用了 \lstinline{tcolorbox} 宏包来定制定理类环境，所以和普通的定理环境的使用有些许区别，定理的使用方法如下：
\begin{lstlisting}
\begin{theorem}{theorem name}{label}
  The content of theorem.
\end{theorem}
\end{lstlisting}

第一个必选项 \lstinline{theorem name} 是定理的名字，第二个必选项 \lstinline{label} 是交叉引用时所用到的标签，交叉引用的方法为 \verb|\ref{thm:label}|。请注意，交叉引用时必须加上前缀 \lstinline{thm:}。

在用户多次反馈下，4.x 之后，引入了原生定理的支持方式，也就是使用可选项方式：

\begin{lstlisting}
\begin{theorem}[theorem name] \label{thm:theorem-label}
  The content of theorem.
\end{theorem}
% or 
\begin{theorem} \label{thm:theorem-withou-name}
  The content of theorem without name.
\end{theorem}
\end{lstlisting}

其他相同用法的定理类环境有：

\begin{table}[htbp]
   \centering
   \caption{定理类环境}
     \begin{tabular}{llll}
     \toprule
     环境名 & 标签名 & 前缀 & 交叉引用 \\
     \midrule
     definition & label & def   & \lstinline|\ref{def:label}| \\
     theorem & label & thm   & \lstinline|\ref{thm:label}| \\
     postulate & label & pos & \lstinline|\ref{pos:label}| \\
     axiom & label & axi & \lstinline|\ref{axi:label}|\\
     lemma & label & lem   & \lstinline|\ref{lem:label}| \\
     corollary & label & cor   & \lstinline|\ref{cor:label}| \\
     proposition & label & pro   & \lstinline|\ref{pro:label}| \\
     \bottomrule
     \end{tabular}%
   \label{tab:theorem-class}%
 \end{table}%
 
% \subsection{算法环境}

 
% \begin{algorithm}\label{alg:test}
%   \Input{A bitmap $I$ of size $w \times l$}
%   \Output{A partition of the bitmap}
%   \BlankLine
%   \emph{special treatment of the first line}\;
%   \For{$i \leftarrow 2$ \KwTo $l$}{
%     \emph{special treatment of the first element of line $i$}\;
%     \For{$j \leftarrow 2$ \KwTo $w$}{\label{forins}
%       $\Left \leftarrow \FindCompress{$I[i,j-1]$}$\;
%       $\Up \leftarrow \FindCompress{$I[i-1,]$}$\;
%       $\This \leftarrow \FindCompress{$I[i,j]$}$\;
%       \If(\tcp*[h]{O(\Left,\This)==1}){\Left compatible with \This}{\label{lt}
%         \lIf{$\Left < \This$}{$\Union{\Left,\This}$}
%         \lElse{$\Union{\This,\Left}$}
%       }
%       \If(\tcp*[f]{O(\Up,\This)==1}){\Up compatible with \This}{\label{ut}
%         \lIf{$\Up < \This$}{$\Union{\Up,\This}$}
%         \tcp{\This is put under \Up to keep tree as flat as possible}\label{cmt}
%         \lElse{$\Union{\This,\Up}$}\tcp*[r]{\This{} linked to \Up}\label{lelse}
%       }
%     }
%     \lForEach{element $e$ of the line $i$}{\FindCompress{p}}
%   }
%   \caption{disjoint decomposition}\label{algo_disjdecomp}
% \end{algorithm}


\subsection{修改计数器}

当前定理等环境计数器按章计数，如果想修改定理类环境按节计数，可以修改计数器选项 thmcnt：

\begin{lstlisting}
  \documentclass[section]{elegantbook} %or
  \documentclass[thmcnt=section]{elegantbook}
\end{lstlisting}


\subsection{其他环境的使用}

其他三种环境没有选项，可以直接使用，比如 \lstinline{example} 环境的使用方法与效果：
\begin{lstlisting}
\begin{example}
   This is the content of example environment.
\end{example}
\end{lstlisting}

这几个都是同一类环境，区别在于

\begin{itemize}
  \item 示例环境（example）、练习（exercise）与例题（problem）章节自动编号；
  \item 注意（note），练习（exercise）环境有提醒引导符；
  \item 结论（conclusion）等环境都是普通段落环境，引导词加粗。
\end{itemize}

\section{列表环境}
本模板借助于 \lstinline{tikz} 定制了 \lstinline{itemize} 和 \lstinline{enumerate} 环境，其中 \lstinline{itemize} 环境修改了 3 层嵌套，而 \lstinline{enumerate} 环境修改了 4 层嵌套（仅改变颜色）。示例如下\\[2ex]
\begin{minipage}[b]{0.49\textwidth}
  \begin{itemize}
    \item first item of nesti;
    \item second item of nesti;
      \begin{itemize}
        \item first item of nestii;
        \item second item of nestii;
        \begin{itemize}
          \item first item of nestiii;
          \item second item of nestiii.
        \end{itemize}   
      \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.49\textwidth}
  \begin{enumerate}
    \item first item of nesti;
    \item second item of nesti;
      \begin{enumerate}
        \item first item of nestii;
        \item second item of nestii;
        \begin{enumerate}
          \item first item of nestiii;
          \item second item of nestiii.
        \end{enumerate}   
      \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{minipage}

\section{参考文献}
文献部分，本模板调用了 biblatex 宏包，并提供了 biber（默认） 和 bibtex 两个后端选项，可以使用 \lstinline{bibend} 进行修改：

\begin{lstlisting}
  \documentclass[bibtex]{elegantbook}
  \documentclass[bibend=bibtex]{elegantbook}
\end{lstlisting}

关于文献条目（bib item），你可以在谷歌学术，Mendeley，Endnote 中取，然后把它们添加到 \lstinline{reference.bib} 中。在文中引用的时候，引用它们的键值（bib key）即可。

为了方便文献样式修改，模板引入了 \lstinline{bibstyle} 和 \lstinline{citestyle} 选项，默认均为数字格式（numeric），参考文献示例：\cite{cn1,en2,en3} 使用了中国一个大型的 P2P 平台（人人贷）的数据来检验男性投资者和女性投资者在投资表现上是否有显著差异。

如果需要设置为国标 GB7714-2015，需要使用：
\begin{lstlisting}
  \documentclass[citestyle=gb7714-2015, bibstyle=gb7714-2015]{elegantbook} 
\end{lstlisting}

如果需要添加排序方式，可以在导言区加入
\begin{lstlisting}
  \ExecuteBibliographyOptions{sorting=ynt}
\end{lstlisting}

启用国标之后，可以加入 \lstinline{sorting=gb7714-2015}。

\section{添加序章}

如果你想在第一章前面添序章，不改变原本章节序号，可以在第一章内容前面使用 
\begin{lstlisting}
\chapter*{Introduction}
\markboth{Introduction}{Introduction}
The content of introduction.
\end{lstlisting}

\section{目录选项与深度}
本模板添加了一个目录选项 \lstinline{toc}，可以设置目录为单栏（\lstinline{onecol}）和双栏（\lstinline{twocol}）显示，比如双栏显示可以使用
\begin{lstlisting}
\documentclass[twocol]{elegantbook}
\documentclass[toc=twocol]{elegantbook}
\end{lstlisting}

默认本模板目录深度为 1，你可以在导言区使用
\begin{lstlisting}
\setcounter{tocdepth}{2}
\end{lstlisting}
将其修改为 2 级目录（章与节）显示。


\section{章节摘要}
模板新增了一个章节摘要环境（introduction），使用示例
\begin{lstlisting}
\begin{introduction}
  \item Definition of Theorem
  \item Ask for help
  \item Optimization Problem
  \item Property of Cauchy Series
  \item Angle of Corner
\end{introduction}
\end{lstlisting}
效果如下：
\begin{introduction}
  \item Definition of Theorem
  \item Ask for help
  \item Optimization Problem
  \item Property of Cauchy Series
  \item Angle of Corner
\end{introduction}

环境的标题文字可以通过这个环境的可选参数进行修改，修改方法为：
\begin{lstlisting}
\begin{introduction}[Brief Introduction]
...
\end{introduction}
\end{lstlisting}

\section{章后习题}
前面我们介绍了例题和练习两个环境，这里我们再加一个，章后习题（\lstinline{problemset}）环境，用于在每一章结尾，显示本章的练习。使用方法如下

\begin{lstlisting}
\begin{problemset}
  \item exercise 1
  \item exercise 2
  \item exercise 3
\end{problemset}
\end{lstlisting}


效果如下：
\begin{problemset}
  \item exercise 1
  \item exercise 2
  \item exercise 3
  \item 测试数学公式
  \begin{equation}
    a^2+b^2=c_{2_{i}} (1,2) [1,23]
  \end{equation}
\end{problemset}

\begin{remark}
如果你想把 \lstinline{problemset} 环境的标题改为其他文字，你可以类似于 introduction 环境修改 problemset 的可选参数。另外，目前这个环境会自动出现在目录中，但是不会出现在页眉页脚信息中（待解决）。
\end{remark}

\begin{solution}
如果你想把 \lstinline{problemset} 环境的标题改为其他文字，你可以类似于 introduction 环境修改 problemset 的可选参数。另外，目前这个环境会自动出现在目录中，但是不会出现在页眉页脚信息中（待解决）。
\end{solution}

\section{旁注}

在 3.08 版本中，我们引入了 旁注设置选项 \lstinline{marginpar=margintrue} 以及测试命令 \lstinline{\elegantpar} ，但是由此带来一堆问题。我们决定在 3.09 版本中将其删除，并且，在旁注命令得到大幅度优化之前，不会将此命令再次引入书籍模板中。对此造成各位用户的不方便，非常抱歉！不过我们保留了 \lstinline{marginpar} 这个选项，你可以使用 \lstinline{marginpar=margintrue} 获得保留右侧旁注的版面设计。然后使用系统自带的 \lstinline{\marginpar} 或者 \lstinline{marginnote} 宏包的 \lstinline{\marginnote} 命令。

\begin{remark}
在使用旁注的时候，需要注意的是，文本和公式可以直接在旁注中使用。

\begin{lstlisting}
% text
\marginpar{margin paragraph text}

% equation
\marginpar{
  \begin{equation}
    a^2 + b^2 = c^2
  \end{equation}
}
\end{lstlisting}

但是浮动体（表格、图片）需要注意，不能用浮动体环境，需要使用直接插图命令或者表格命令环境。然后使用 \lstinline{\captionof} 为其设置标题。为了得到居中的图表，可以使用 \lstinline{\centerline} 命令或者 \lstinline{center} 环境。更多详情请参考：\href{https://tex.stackexchange.com/questions/5583/caption-of-figure-in-marginpar-and-caption-of-wrapfigure-in-margin}{Caption of Figure in Marginpar}。

\begin{lstlisting}
% graph with centerline command
\marginpar{
  \centerline{
    \includegraphics[width=0.2\textwidth]{logo.png}
  }
  \captionof{figure}{your figure caption}
}

% graph with center environment
\marginpar{
  \begin{center}
    \includegraphics[width=0.2\textwidth]{logo.png}
    \captionof{figure}{your figure caption}
  \end{center}
}
\end{lstlisting}

\end{remark}

\chapter{迁移学习}
字体选项独立成章的原因是，我们希望本模板的用户关心模板使用的字体，知晓自己使用的字体以及遇到字体相关的问题能更加便捷地找到答案。

\textcolor{red}{\bfseries 重要提示}：从 3.10 版本更新之后，沿用至今的 newtx 系列字体被重新更改为 cm 字体。并且新增中文字体（\lstinline{chinesefont}）选项。

\section{数学字体选项}

本模板定义了一个数学字体选项（\lstinline{math}），可选项有三个：
\begin{enumerate}
  \item \lstinline{math=cm}（默认），使用 \LaTeX{} 默认数学字体（推荐，无需声明）；
  \item \lstinline{math=newtx}，使用 \lstinline{newtxmath} 设置数学字体（潜在问题比较多）。
  \item \lstinline{math=mtpro2}，使用 \lstinline{mtpro2} 宏包设置数学字体，要求用户已经成功安装此宏包。
\end{enumerate}

\section{使用 newtx 系列字体}

如果需要使用原先版本的 \lstinline{newtx} 系列字体，可以通过显示声明数学字体：

\begin{lstlisting}
\documentclass[math=newtx]{elegantbook}
\end{lstlisting}

\subsection{连字符}

如果使用 \lstinline{newtx} 系列字体宏包，需要注意下连字符的问题。
\begin{equation}
  \int_{R^q} f(x,y) dy.\emph{of\kern0pt f}
\end{equation}
的代码为
\begin{lstlisting}
\begin{equation}
  \int_{R^q} f(x,y) dy.\emph{of \kern0pt f}
\end{equation}
\end{lstlisting}

\subsection{宏包冲突}

另外在 3.08 版本中，有用户反馈模板在和 \lstinline{yhmath} 以及 \lstinline{esvect} 等宏包搭配使用的时候会出现报错：
\begin{lstlisting}
LaTeX Error:
   Too many symbol fonts declared.
\end{lstlisting}

原因是在使用 \lstinline{newtxmath} 宏包时，重新定义了数学字体用于大型操作符，达到了 {\heiti 最多 16 个数学字体} 的上限，在调用其他宏包的时候，无法新增数学字体。为了减少调用非常用宏包，在此给出如何调用 \lstinline{yhmath} 以及 \lstinline{esvect} 宏包的方法。

请在 \lstinline{elegantbook.cls} 内搜索 \lstinline{yhmath} 或者 \lstinline{esvect}，将你所需要的宏包加载语句\textit{取消注释}即可。
\begin{lstlisting}
%%% use yhmath pkg, uncomment following code
% \let\oldwidering\widering
% \let\widering\undefined
% \RequirePackage{yhmath}
% \let\widering\oldwidering

%%% use esvect pkg, uncomment following code
% \RequirePackage{esvect}
\end{lstlisting}

\section{中文字体选项}
模板从 3.10 版本提供中文字体选项 \lstinline{chinesefont}，可选项有
\begin{enumerate}
\item \lstinline{ctexfont}：默认选项，使用 \lstinline{ctex} 宏包根据系统自行选择字体，可能存在字体缺失的问题，更多内容参考 \lstinline{ctex} 宏包\href{https://ctan.org/pkg/ctex}{官方文档}\footnote{可以使用命令提示符，输入 \lstinline{texdoc ctex} 调出本地 \lstinline{ctex} 宏包文档}。
\item \lstinline{founder}：方正字体选项（\textbf{需要安装方正字体}），后台调用 \lstinline{ctex} 宏包并且使用 \lstinline{fontset=none} 选项，然后设置字体为方正四款免费字体，方正字体下载注意事项见后文，用户只需要安装方正字体即可使用该选项。
\item \lstinline{nofont}：后台会调用 \lstinline{ctex} 宏包并且使用 \lstinline{fontset=none} 选项，不设定中文字体，用户可以自行设置中文字体，具体见后文。
\end{enumerate}

\subsection{方正字体选项}
由于使用 \lstinline{ctex} 宏包默认调用系统已有的字体，部分系统字体缺失严重，因此，用户希望能够使用其它字体，我们推荐使用方正字体。方正的{\songti 方正书宋}、{\heiti 方正黑体}、{\kaishu 方正楷体}、{\fangsong 方正仿宋}四款字体均可免费试用，且可用于商业用途。用户可以自行从\href{http://www.foundertype.com/}{方正字体官网}下载此四款字体，在下载的时候请\textbf{务必}注意选择 GBK 字符集，也可以使用 \href{https://www.latexstudio.net/}{\LaTeX{} 工作室}提供的\href{https://pan.baidu.com/s/1BgbQM7LoinY7m8yeP25Y7Q}{方正字体，提取码为：njy9} 进行安装。安装时，{\kaishu Win 10 用户请右键选择为全部用户安装，否则会找不到字体。}

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{founder.png}
\end{figure}

\subsection{其他中文字体}
如果你想完全自定义字体\footnote{这里仍然以方正字体为例。}，你可以选择 \lstinline{chinesefont=nofont}，然后在导言区设置
\begin{lstlisting}
\setCJKmainfont[BoldFont={FZHei-B01},ItalicFont={FZKai-Z03}]{FZShuSong-Z01}
\setCJKsansfont[BoldFont={FZHei-B01}]{FZKai-Z03}
\setCJKmonofont[BoldFont={FZHei-B01}]{FZFangSong-Z02}
\setCJKfamilyfont{zhsong}{FZShuSong-Z01}
\setCJKfamilyfont{zhhei}{FZHei-B01}
\setCJKfamilyfont{zhkai}[BoldFont={FZHei-B01}]{FZKai-Z03}
\setCJKfamilyfont{zhfs}[BoldFont={FZHei-B01}]{FZFangSong-Z02}
\newcommand*{\songti}{\CJKfamily{zhsong}}
\newcommand*{\heiti}{\CJKfamily{zhhei}}
\newcommand*{\kaishu}{\CJKfamily{zhkai}}
\newcommand*{\fangsong}{\CJKfamily{zhfs}}
\end{lstlisting}

\chapter{ElegantBook 写作示例}

\begin{introduction}
  \item 积分定义~\ref{def:int}
  \item Fubini 定理~\ref{thm:fubi}
  \item 最优性原理~\ref{pro:max}
  \item 柯西列性质~\ref{property:cauchy}
  \item 韦达定理
\end{introduction}

\section{Lebesgue 积分}
在前面各章做了必要的准备后，本章开始介绍新的积分。在 Lebesgue 测度理论的基础上建立了 Lebesgue 积分，其被积函数和积分域更一般，可以对有界函数和无界函数统一处理。正是由于 Lebesgue 积分的这些特点，使得 Lebesgue 积分比 Riemann 积分具有在更一般条件下的极限定理和累次积分交换积分顺序的定理，这使得 Lebesgue 积分不仅在理论上更完善，而且在计算上更灵活有效。

Lebesgue 积分有几种不同的定义方式。我们将采用逐步定义非负简单函数，非负可测函数和一般可测函数积分的方式。

由于现代数学的许多分支如概率论、泛函分析、调和分析等常常用到一般空间上的测度与积分理论，在本章最后一节将介绍一般的测度空间上的积分。

\subsection{积分的定义}

我们将通过三个步骤定义可测函数的积分。首先定义非负简单函数的积分。以下设 $E$ 是 $\mathcal{R}^n$ 中的可测集。

\begin{definition}[可积性] \label{def:int} 
设 $ f(x)=\sum\limits_{i=1}^{k} a_i \chi_{A_i}(x)$ 是 $E$ 上的\textbf{非负简单函数}，中文其中 $\{A_1,A_2,\ldots,A_k\}$ 是 $E$ 上的一个可测分割，$a_1,a_2,\ldots,a_k$ 是非负实数。定义 $f$ 在 $E$ 上的积分为 $\int_{a}^b f(x)$
\begin{equation}
   \label{inter}
   \int_{E} f dx = \sum_{i=1}^k a_i m(A_i) \pi \alpha\beta\sigma\gamma\nu\xi\epsilon\varepsilon. \oint_{a}^b\ointop_{a}^b\prod_{i=1}^n
\end{equation}
一般情况下 $0 \leq \int_{E} f dx \leq \infty$。若 $\int_{E} f dx < \infty$，则称 $f$ 在 $E$ 上可积。
\end{definition}

一个自然的问题是，Lebesgue 积分与我们所熟悉的 Riemann 积分有什么联系和区别？在 4.4 在我们将详细讨论 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系。这里只看一个简单的例子。设 $D(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的 Dirichlet 函数。即 $D(x)=\chi_{Q_0}(x)$，其中 $Q_0$ 表示 $[0,1]$ 中的有理数的全体。根据非负简单函数积分的定义，$D(x)$ 在 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 积分为
\begin{equation}
   \label{inter2}
   \int_0^1 D(x)dx = \int_0^1 \chi_{Q_0} (x) dx = m(Q_0) = 0
\end{equation}
即 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零。但 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可积的。


有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数。有界变差函数可以表示为两个单调递增函数之差。与单调函数一样，有界变差函数几乎处处可导。与单调函数不同，有界变差函数类对线性运算是封闭的，它们构成一线空间。练习题 \ref{exer:43} 是一个性质的证明。

\begin{exercise}\label{exer:43}
设 $f \notin\in L(\mathcal{R}^1)$，$g$ 是 $\mathcal{R}^1$ 上的有界可测函数。证明函数
\begin{equation}
   \label{ex:1}
   I(t) = \int_{\mathcal{R}^1} f(x+t)g(x)dx \quad t \in \mathcal{R}^1
\end{equation}
是 $\mathcal{R}^1$ 上的连续函数。 
\end{exercise}

\begin{solution}
即 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零。但 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可积的。
\end{solution}

\begin{proof}
即 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零。但 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可积的。
\end{proof}

\begin{theorem}[Fubini 定理] \label{thm:fubi} 
（1）若 $f(x,y)$ 是 $\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q$ 上的非负可测函数，则对几乎处处的 $x\in \mathcal{R}^p$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数是 $\mathcal{R}^q$ 上的非负可测函数，$g(x)=\int_{\mathcal{R}^q}f(x,y) dy$ 是 $\mathcal{R}^p$ 上的非负可测函数。并且
\begin{equation}
   \label{eq:461}
   \int_{\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q} f(x,y) dxdy=\int_{\mathcal{R}^p}\left(\int_{\mathcal{R}^q}f(x,y)dy\right)dx.
\end{equation}

（2）若 $f(x,y)$ 是 $\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q$ 上的可积函数，则对几乎处处的 $x\in\mathcal{R}^p$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数是 $\mathcal{R}^q$ 上的可积函数，并且 $g(x)=\int_{\mathcal{R}^q}f(x,y) dy$ 是 $\mathcal{R}^p$ 上的可积函数。而且~\ref{eq:461} 成立。
\end{theorem}

\ref{thm:fubi}

\begin{note}
在本模板中，引理（lemma），推论（corollary）的样式和定理~\ref{thm:fubi} 的样式一致，包括颜色，仅仅只有计数器的设置不一样。
\end{note}

我们说一个实变或者复变量的实值或者复值函数是在区间上平方可积的，如果其绝对值的平方在该区间上的积分是有限的。所有在勒贝格积分意义下平方可积的可测函数构成一个希尔伯特空间，也就是所谓的 $L^2$ 空间，几乎处处相等的函数归为同一等价类。形式上，$L^2$ 是平方可积函数的空间和几乎处处为 0 的函数空间的商空间。

\begin{proposition}[最优性原理] \label{pro:max}
如果 $u^*$ 在 $[s,T]$ 上为最优解，则 $u^*$ 在 $[s, T]$ 任意子区间都是最优解，假设区间为 $[t_0, t_1]$ 的最优解为 $u^*$ ，则 $u(t_0)=u^{*}(t_0)$，即初始条件必须还是在 $u^*$ 上。
\end{proposition}

我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据，可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系，这种函数关系称为经验公式。本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求点与点之间近似成线性关系时的经验公式。假定实验测得变量之间的 $n$ 个数据，则在平面上，可以得到 $n$ 个点，这种图形称为 “散点图”，从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为其近似为一线性函数，下面介绍求解步骤。

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[width=0.6\textwidth]{scatter.jpg}
  \caption{散点图示例 $\hat{y}=a+bx$ \label{fig:scatter}}
\end{figure}

以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面。

\begin{property}\label{property:cauchy}
柯西列的性质
\begin{enumerate}
\item $\{x_k\}$ 是柯西列，则其子列 $\{x_k^i\}$ 也是柯西列。
\item $x_k\in \mathcal{R}^n$，$\rho(x,y)$ 是欧几里得空间，则柯西列收敛，$(\mathcal{R}^n,\rho)$ 空间是完备的。
\end{enumerate}
\end{property}

\begin{conclusion}
回归分析（regression analysis) 是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
\end{conclusion}

\begin{problemset}
\item 设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 级矩阵。证明：如果 $K^n$ 中任意非零列向量都是 $A$ 的特征向量，则 $A$ 一定是数量矩阵。
\item 证明：不为零矩阵的幂零矩阵不能对角化。
\item 设 $A = (a_{ij})$ 是数域 $K$ 上的一个 $n$ 级上三角矩阵，证明：如果 $a_{11} = a_{22} = \cdots = a_{nn}$，并且至少有一个 $a_{kl} \not = 0 (k < l)$，则 $A$ 一定不能对角化。
\end{problemset}

\chapter{常见问题集}

我们根据用户社区反馈整理了下面一些常见的问题，用户在遇到问题时，应当首先查阅本手册和本部分的常见的问题。

\begin{enumerate}[itemsep=1.5ex]
  \item \question{有没有办法章节用“第一章，第一节，（一）”这种？}
    见前文介绍，可以使用 \lstinline{scheme=chinese} 设置。
  \item \question{大佬，我想把正文字体改为亮色，背景色改为黑灰色。}
    页面颜色可以使用 \lstinline{\pagecolor} 命令设置，文本命令可以参考\href{https://tex.stackexchange.com/questions/278544/xcolor-what-is-the-equivalent-of-default-text-color}{这里}进行设置。
  \item \question{\lstinline[breaklines]{Package ctex Error: CTeX fontset 'Mac' is unavailable.}}
    在 Mac 系统下，中文编译请使用 \hologo{XeLaTeX}。
  \item \question{\lstinline{! LaTeX Error: Unknown option 'scheme=plain' for package 'ctex'.}}
    你用的 C\TeX{} 套装吧？这个里面的 \lstinline{ctex} 宏包已经是已经是 10 年前的了，与本模板使用的 \lstinline{ctex} 宏集有很大区别。不建议 C\TeX{} 套装了，请卸载并安装 \TeX{} Live 2022。
  \item \question{我该使用什么版本？}
    请务必使用\href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/releases}{最新正式发行版}，发行版间不定期可能会有更新（修复 bug 或者改进之类），如果你在使用过程中没有遇到问题，不需要每次更新\href{https://github.com/ElegantLaTeX/ElegantBook/archive/master.zip}{最新版}，但是在发行版更新之后，请尽可能使用最新版（发行版）！最新发行版可以在 GitHub 或者 \TeX{} Live 2021 内获取。
  \item \question{我该使用什么编辑器？}
    你可以使用 \TeX{} Live 2021 自带的编辑器 \TeX{}works 或者使用 \TeX{}studio，\TeX works 的自动补全，你可以参考我们的总结 \href{https://github.com/EthanDeng/texworks-autocomplete}{\TeX works 自动补全}。推荐使用 \TeX{} Live 2021 + \TeX{}studio。我自己用 VS Code 和 Sublime Text，相关的配置说明，请参考 \href{https://github.com/EthanDeng/vscode-latex}{\LaTeX{} 编译环境配置：Visual Studio Code 配置简介} 和 \href{https://github.com/EthanDeng/sublime-text-latex}{Sublime Text 搭建 \LaTeX{} 编写环境}。
  \item \question{您好，我们想用您的 ElegantBook 模板写一本书。关于机器学习的教材，希望获得您的授权，谢谢您的宝贵时间。}
    模板的使用修改都是自由的，你们声明模板来源以及模板地址（GitHub 地址）即可，其他未尽事宜按照开源协议 LPPL-1.3c。做好之后，如果方便的话，可以给我们一个链接，我把你们的教材放在 Elegant\LaTeX{} 用户作品集里。
  \item \question{请问交叉引用是什么？}
    本群和本模板适合有一定 \LaTeX{} 基础的用户使用，新手请先学习 \LaTeX{} 的基础，理解各种概念，否则你将寸步难行。
  \item \question{代码高亮环境能用其他语言吗？}
    可以的，ElegantBook 模板用的是 \lstinline{listings} 宏包，你可以在环境（\lstinline{lstlisting}）之后加上语言（比如 Python 使用 \lstinline{language=Python} 选项），全局语言修改请使用 \lstinline{lsset} 命令，更多信息请参考宏包文档。
  \item \question{群主，什么时候出 Beamer 的模板（主题），ElegantSlide 或者 ElegantBeamer？}
    由于 Beamer 中有一个很优秀的主题 \href{https://github.com/matze/mtheme}{Metropolis}。后续确定不会再出任何主题/模板，请大家根据需要修改已有主题。
\end{enumerate}

\chapter{版本更新历史}

根据用户的反馈，我们不断修正和完善模板。由于 3.00 之前版本与现在版本差异非常大，在此不列出 3.00 之前的更新内容。


\datechange{2022/04/09}{版本 4.3 正式发布。}

\begin{change}
  \item 放弃 newtx 系列宏包的设置，改用 TeX Gyre Terms，并设置其他字体；
  \item 修改定理类环境内部字体设置，修复环境内部中文无法加粗问题；
  \item 增加定理类环境的计数器选项 \lstinline{thmcnt}，可选 \lstinline{chapter} 和 \lstinline{section}；
  \item 增加 \lstinline{bibend} 选项，可选 \lstinline{bibend=biber}（默认）和 \lstinline{bibend=bibtex}。
\end{change}



\datechange{2022/03/08}{版本 4.2 正式发布。}

\begin{change}
  \item 对于 newtx 系列宏包更新导致的字体 bug 的修复；
  \item 修缮目录格式，为了达到这个目的，重新改写 \lstinline{\chaptername} 的重定义语句；
  \item 增加日语 \lstinline{lang=jp} 设定。
  \item 这个版本为一个临时性版本，在 \TeX Live 2022 发布之后，将尽快发布 4.3 版本，由于对于中文的改动比较大，可能会出现预期之外的 bug，有问题可以在 QQ 群或者 Github 反馈。
\end{change}


\datechange{2021/05/02}{版本 4.1 正式发布。}

\begin{change}
  \item \textbf{重要改动}：由原先的 \hologo{BibTeX} 改为 biblatex 编译方式（后端为 \lstinline{biber}），请注意两者之间的差异；
  \item \textbf{重要改进}：修改对于定理写法兼容方式，提高数学公式代码的兼容性；
  \item 页面设置改动，默认页面更宽；方便书写和阅读；
  \item 支持目录文字以及页码跳转；
  \item 不再维护 \hologo{pdfLaTeX} 中文支持方式，请务必使用 \hologo{XeLaTeX} 编译中文文稿。
  \item 增加多个语言选项，法语 \lstinline{lang=fr}、荷兰语 \lstinline{lang=nl}、匈牙利语 \lstinline{lang=hu}、西班牙语 \lstinline{lang=es}、蒙古语 \lstinline{lang=mn} 等。
\end{change}


\datechange{2020/04/12}{版本 3.11 正式发布，\textcolor{red}{此版本为 3.x 最后版本。}}

\begin{change}
  \item \textbf{重要修正}：修复因为 \lstinline{gbt7714} 宏包更新导致的 \lstinline{natbib option clash} 错误；
  \item 由于 \lstinline{pgfornament} 宏包未被 \TeX{} Live 2020 收录，因此删除 base 相关的内容；
  \item 修复部分环境的空格问题；
  \item 增加了意大利语言选项 \lstinline{lang=it}。
\end{change}


\datechange{2020/02/10}{版本 3.10 正式发布}

\begin{change}
  \item 增加数学字体选项 \lstinline{math}，可选项为 \lstinline{newtx} 和 \lstinline{cm}。\\
  \textbf{重要提示}：原先通过 \lstinline{newtxmath} 宏包设置的数学字体改为 \LaTeX{} 默认数学字体，如果需要保持原来的字体，需要显式声明数学字体（\lstinline{math=newtx}）；
  \item 新增中文字体选项 \lstinline{chinesefont}，可选项为 \lstinline{ctexfont}、\lstinline{founder} 和 \lstinline{nofont}。
  \item 将封面作者信息设置为可选，并且增加自定义信息命令 \lstinline{\bioinfo}；
  \item 在说明文档中增加版本历史，新增 \lstinline{\datechange} 命令和 \lstinline{change} 环境；
  \item 增加汉化章节选项 \lstinline{scheme}，可选项为汉化 \lstinline{chinese}；
  \item 由于 \lstinline{\lvert} 问题已经修复，重新调整 \lstinline{ctex} 宏包和 \lstinline{amsmath} 宏包位置。
  \item 修改页眉设置，去除了 \lstinline{\lastpage} 以避免 page anchor 问题，加入 \lstinline{\frontmatter}。
  \item 修改参考文献选项 \lstinline{cite}，可选项为数字 \lstinline{numbers}、 作者-年份 \lstinline{authoryear} 以及上标 \lstinline{super}。
  \item 新增参考文献样式选项 \lstinline{bibstyle}，并将英文模式下参考文献样式 \lstinline{apalike} 设置为默认值，中文仍然使用 \lstinline{gbt7714} 宏包设置。
\end{change}

\datechange{2019/08/18}{版本 3.09 正式发布}

\begin{change}
  \item \lstinline{\elegantpar} 存在 bug，删除 \lstinline{\elegantpar} 命令，建议用户改用 \lstinline{\marginnote} 和 \lstinline{\marginpar} 旁注命令。
  \item 积分操作符统一更改为 \lstinline{esint} 宏包设置；
  \item 新增目录选项 \lstinline{toc}，可选项为单栏 \lstinline{onecol} 和双栏 \lstinline{twocol}；
  \item 手动增加参考文献选项 \lstinline{cite}，可选项为上标形式 \lstinline{super}；
  \item 修正章节习题（\lstinline{problemset}）环境。
\end{change}

\datechange{2019/05/28}{版本 3.08 正式发布}

\begin{change}
  \item 修复 \lstinline{\part} 命令。
  \item 引入 Note 模板中的 \lstinline{pad} 选项 \lstinline{device=pad}。
  \item 数学字体加入 \lstinline{mtpro2} 可选项 \lstinline{math=mtpro2}，使用免费的 \lstinline{lite} 子集。
  \item 将参考文献默认显示方式 \lstinline{authoyear} 改为 \lstinline{numbers}。
  \item 引入旁注命令 \lstinline{\marginpar}（测试）。
  \item 新增章节摘要环境 \lstinline{introduction}。
  \item 新增章节习题环境 \lstinline{problemset}。
  \item 将 \lstinline{\equote} 重命名为 \lstinline{\extrainfo}。
  \item 完善说明文档，增加致谢部分。
\end{change}

\datechange{2019/04/15}{版本 3.07 正式发布}

\begin{change}
  \item 删除中英文自定义字体总设置。
  \item 新增颜色主题，并将原绿色默认主题设置为蓝色 \lstinline{color=blue}。
  \item 引入隐藏装饰图案选项 \lstinline{base}，可选项有显示 \lstinline{show} 和隐藏 \lstinline{hide}。
  \item 新增定理模式 \lstinline{mode}，可选项有简单模式 \lstinline{simple} 和炫彩模式 \lstinline{fancy}。
  \item 新增隐藏证明、答案等环境的选项 \lstinline{result=noanswer}。
\end{change}

\datechange{2019/02/25}{版本 3.06 正式发布}

\begin{change}
  \item 删除水印。
  \item 新封面，新装饰图案。
  \item 添加引言使用说明。
  \item 修复双面 \lstinline{twoside}。
  \item 美化列表环境。
  \item 增加 \lstinline{\subsubsection} 的设置。
  \item 将模板拆分成中英文语言模式。
  \item 使用 \lstinline{lstlisting} 添加代码高亮。
  \item 增加定理类环境使用说明。
\end{change}

\datechange{2019/01/22}{版本 3.05 正式发布}

\begin{change}
  \item 添加 \lstinline{xeCJK} 宏包中文支持方案。
  \item 修复模板之前对 Ti\textit{k}Z 单位的改动。
  \item 更新 logo 图。
\end{change}

\datechange{2019/01/15}{版本 3.04 正式发布}

\begin{change}
  \item 格式化模板代码。
  \item 增加 \lstinline{\equote} 命令。
  \item 修改 \lstinline{\date}。
\end{change}

\datechange{2019/01/08}{版本 3.03 正式发布}

\begin{change}
  \item 修复附录章节显示问题。
  \item 小幅优化封面代码。
\end{change}

\datechange{2018/12/31}{版本 3.02 正式发布}

\begin{change}
  \item 修复名字系列命令自定义格式时出现的空格问题，比如 \lstinline{\listfigurename}。
  \item 英文定理类名字改为中文名。
  \item 英文结构名改为中文。
\end{change}

\datechange{2018/12/16}{版本 3.01 正式发布}

\begin{change}
  \item 调整 \lstinline{ctex} 宏包。
  \item 说明文档增加更新内容。
\end{change}

\datechange{2018/12/06}{版本 3.00 正式发布}

\begin{change}
  \item 删除 \lstinline{mathpazo} 数学字体选项。
  \item 添加邮箱命令 \lstinline{\mailto}。
  \item 修改英文字体为 \lstinline{newtx} 系列，另外大型操作符号维持 cm 字体。
  \item 中文字体改用 \lstinline{ctex} 宏包自动设置。
  \item 删除 \lstinline{xeCJK} 字体设置，原因是不同系统字体不方便统一。
  \item 定理换用 \lstinline{tcolobox} 宏包定义，并基本维持原有的定理样式，优化显示效果，支持跨页；定理类名字重命名，如 etheorem 改为 theorem 等等。
  \item 删去自定义的缩进命令 \lstinline{\Eindent}。
  \item 添加参考文献宏包 \lstinline{natbib}。
  \item 颜色名字重命名。
\end{change}

\nocite{*}
\printbibliography[heading=bibintoc, title=\ebibname]
\appendix

\chapter{基本数学工具}


本附录包括了计量经济学中用到的一些基本数学，我们扼要论述了求和算子的各种性质，研究了线性和某些非线性方程的性质，并复习了比例和百分数。我们还介绍了一些在应用计量经济学中常见的特殊函数，包括二次函数和自然对数，前 4 节只要求基本的代数技巧，第 5 节则对微分学进行了简要回顾；虽然要理解本书的大部分内容，微积分并非必需，但在一些章末附录和第 3 篇某些高深专题中，我们还是用到了微积分。

\section{求和算子与描述统计量}

\textbf{求和算子} 是用以表达多个数求和运算的一个缩略符号，它在统计学和计量经济学分析中扮演着重要作用。如果 $\{x_i: i=1, 2, \ldots, n\}$ 表示 $n$ 个数的一个序列，那么我们就把这 $n$ 个数的和写为：

\begin{equation}
\sum_{i=1}^n x_i \equiv x_1 + x_2 +\cdots + x_n
\end{equation}



\end{document}
